Design and analysis of electromagnetic driver control system based on micro nano positioning
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摘要: 针对大行程电磁驱动微纳米定位技术控制精度较低的问题，根据电磁驱动装置的工作原理，提出优化PID的控制方案，并在Matlab软件中搭建控制系统的Simulink模型. 相较传统PID控制，对前馈PID和模糊PID算法的改进效果进行研究，得出前馈PID拥有较好的动、静态控制性能，模糊PID鲁棒性较佳的结论.Abstract: Aiming at the problem of low control precision of large stroke electromagnetic drive micro-nano positioning technology, an optimized PID control scheme was proposed. According to the working principle of the electromagnetic drive device, the Simulink model of control system was established and built in Matlab software. Comparing with traditional PID control, the improvement effects of feedforward PID and fuzzy PID algorithm were studied. It is concluded that feedforward PID has better dynamic and static control performance, and fuzzy PID has better robustness.
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Key words:
- electromagnetic drive /
- nano positioning /
- feedforward control /
- fuzzy control
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近年来，微纳米定位技术在包括扫描探针显微镜[1]、光刻技术[2]、生物医学工程[3]、微纳米加工制造[4]等精密加工领域的作用越发重要. 例如，在生物医学领域要可靠实现对斑马鱼胚胎的药物注射[5]，就需要一个在有限空间内行程达到10 mm的精确定位驱动装置. 相较于目前使用的压电陶瓷驱动的微纳米定位平台，电磁驱动结构更加简单，也未有压敏器件带来的迟滞、非线性、蠕变等缺陷[6-7]，从而获得大行程精确定位，在更大程度上满足大行程微纳米加工、测量、装配的要求.
1. 设计原理
本研究中电磁驱动装置通过控制装置中线圈电流来控制被控对象在磁场中的运动，装置结构如图1所示. 驱动装置主要包括永磁体、线圈、线圈支架和磁轭等4个部分. 圆柱形永磁体产生磁场，通电线圈在永磁体与磁轭之间均匀磁场的作用下产生推动线圈支架水平移动的轴向电磁推力.
目前常用的微纳米定位控制系统因控制精度要求，一般不采用传统PID控制，有研究者提出许多新的控制策略，如李鸿等[8]研究0.1 μm光刻机硅片台使用IP控制算法和预测前馈补偿控制算法控制驱动永磁直线同步电机. 此外，还有内膜控制、鲁棒控制等一系列基于现代控制理论的智能控制算法[9]，其中将PID与智能控制算法结合的改进控制更为常用. 例如，日本学者Shinno等[10]采用传统PID与前馈补偿控制相结合实现对永磁直线同步电机的直接超精密驱动控制；卢礼华等[11]采用高增益不完全微分、比例反馈PID控制器的算法达成 “直流伺服电机+滚珠丝杠”控制系统的精度要求.
现有研究多采用改进PID算法以及PID与结构优化相结合的方法提高驱动系统的控制精度. 本研究从控制算法这一方面探讨提高电磁驱动装置控制精度的优化PID算法应用. 通过对传统、前馈以及模糊PID等3种算法对比仿真，分析电磁驱动微纳米定位装置在不同PID算法控制下的性能. 研究中采用基于电流环和位置环的双闭环PID控制，并提出前馈—反馈PID 控制和模糊PID控制两种优化控制算法以获得更好的控制效果，并对比分析两种算法控制效果的优缺点.
2. 控制方案设计
微纳米定位装置实际驱动控制系统如图2所示. 电磁驱动装置根据伺服驱动器输出的控制信号产生运动，利用磁栅尺检测位置进行反馈，调节伺服控制器的输出信号.
针对该电磁驱动微纳米定位装置，其要能够对输入信号迅速反应，且实现微纳米级定位精度，故需控制系统迅速根据位置反馈信息精确地控制位置量输入，并维持输入线圈中电流信号稳定、无超调. 在设计电磁驱动装置的控制系统时，采用电流内环和控制位置输入量外环的双闭环控制方案.
2.1 电磁驱动装置的控制原理
电磁驱动装置的控制原理是通过控制线圈中电流的大小和方向，生成不同大小和方向的安培力，以实现线圈支架的往返直线运动. 其中安培力Fe的计算式为
Fe=N∫lIdl×B (1) 式中：N为线圈匝数；I为线圈中的电流，A；B为气隙中的磁场强度，T；l为导体在磁场中的有效长度，m；dl为导体长度的变化量.
根据式(1)可知，电磁驱动输出推力的大小主要由磁通密度B、线圈长度l、线圈中的电流I以及线圈匝数N决定. 若驱动装置的材料和尺寸已知，则能直接确定磁通密度B、线圈长度l以及线圈匝数N，从而使得安培力只与线圈电流线性相关.
2.2 PID算法设计
PID控制算法是通过利用比例、积分、微分3个调节环节来控制被控对象的输入量，从而减小控制误差的控制算法，在过程控制领域中应用最为广泛，具有简单、稳定、可靠等优点. 一般控制系统主要由控制器、传感器、执行机构和I/O接口组成[12]，传统PID控制使用PID控制器，其控制原理框图如图3所示.
本研究装置中复杂的被控对象及双闭环控制方式导致数学模型较难确定，控制精度要求较高，还需考虑被控对象有无负载干扰. 为实现微纳米级别精确定位，需优化传统PID控制，优化方向为：一是应用经典前馈控制算法；二是与现代智能算法相结合.
2.2.1 前馈PID算法
反馈控制是根据执行机构实时测量偏差来控制系统，只有在产生偏差后才能起控制作用，因此实际控制中会有时延，针对此采用前馈控制来弥补反馈闭环控制的这一缺陷. 前馈控制原理是根据测量到的扰动量或设定值而变化，通过前馈控制器产生合适的控制量作用到被控对象上，从而保证被控变量近似于设定值[13]，其控制原理框图如图4所示. 由变送器检测干扰信号，针对不同干扰信号，提前建立干扰控制函数，干扰信号在补偿器中被干扰控制函数抵消，再经调节阀输入被控对象实现控制，以避免干扰信号对控制系统的影响.前馈PID的控制结构框图如图5所示.
以r为干扰信号，Kfb(s)为反馈控制器，Kff(s)为前馈控制器，G(s)为被控对象，e为输入值与输出量之间的误差，则输入信号r到误差信号e的传递函数公式为 [14]
er=1−G(s)Kff(s)1+G(s)Kfb(s) (2) 若将“干扰信号”抵消，则误差信号e应等于零，即前馈控制器Kff(s)应等于被控对象G(s)的逆，故在设计前馈控制器前，需要尽可能精确地建立被控对象数学模型的传递函数G(s).
本研究针对位置环设计前馈控制器，由于位置环的数学模型较为复杂，仅使用传统PID控制算法得到的控制曲线动静态性能都较差. 为获得更好的控制效果，采用速度和加速度复合的前馈控制，数学模型表达式为Kaff s2+Kvff s，这一控制器的设计目的是补偿PID控制器造成的时延和扰动，故需要根据PID控制模型对速度和加速度前馈增益Kvff、Kaff进行求解. 再在Simulink仿真模型适量微调，即可获得前馈控制的准确参数.
2.2.2 模糊PID算法
以模糊数学为基础理论的控制算法即模糊控制，其控制原理框图如图6所示[15]. 模糊控制是一种包含模糊集合、模糊语言和模糊推理的智能非线性计算机控制算法，与传统PID控制不同，主要由参数模糊化、知识库、模糊推理、解模糊等4部分构成[16].
由图可知，模糊PID算法通过引入误差和误差导数，经过相应逻辑运算得出3个PID参量，再由系统根据所得参量值进行控制. 因为模糊PID参数会随误差变化而变化，故与传统PID相比，控制效果更佳. 在模糊PID算法中，最重要的部分是模糊控制器，其结构框图如图7所示.
本研究中模糊控制器以设定值和实际值间的误差e和误差变化率ec为输入，得到的PID调节参数Δkp、Δki、Δkd为输出. 模糊控制器模糊论域的划分十分灵活，但需要确保：量化因子(Kj )
×模糊论域(Range )=基本论域(被控对象的实际范围). 由于5个变量均用7个模糊子集描述，分别为负大（NB）、负中（NM）、负小（NS）、零（ZO）、正小（PS）、正中（PM）和正大（PB），故将Δkp、Δki、Δkd的模糊论域设定为[−6 6]. e和ec的论域根据误差变化率的输出范围选择，设定为[−3 3]，隶属度函数选择较为简单的三角函数. 在设定具体的模糊控制规则时，应考虑3个参数在不同时刻的作用，并根据已知经验设计归纳3个PID参数的自调整规则，见表1.
表 1 模糊PID控制规则表Table 1. Fuzzy PID control rulesec e NB NM NS ZO PS PM PB NB PB / NB / PS PB / NB / NS PM / NM / NB PM / NM / NB PS / NS / NB Z / Z / NM Z / Z / PS NM PB / NB / PS PB / NB / NS PM / NM / NB PS / NS / NM PS / NS / NM Z / Z / NS NS / Z / Z NS PM / NB / Z PM / NM / NS PM / NS / NM PS / NS / NM Z / Z / NB NS / PS / NS NS / PS / Z ZO PM / NM / Z PM / NM / NS PS / NS / NS Z / Z / NS NS / PS / NS NM / PM / NS NM / PM / Z PS PS / NM / Z PS / NS / Z Z / Z / Z NS / PS / Z NM / PM / Z NM / PM / Z NM / PB / Z PM PS / Z / PB Z / Z / PS NS / PS / PS NM / PS / PS NM / PM / PS NM / PB / PS NB / PB / PB PB Z / Z / PB Z / Z / PM NS / PM / PM NM / PM / PM NM / PM / PS NM / PB / PS NB / PB / PB 根据表中运行输出PID控制器的调整参数Δkp、Δki、Δkd. 依靠模糊推理解模糊化，采用最小最大重心法，即Mamdani法，解模糊化后与相应初始参数相加即可得出模糊PID参数.
3. 数学模型分析与建立
3.1 动力平衡方程的建立
电磁驱动装置工作时，以安培力作为电磁推力，克服相反方向的动摩擦力Fc为装置的往复直线运动提供驱动力. 这种驱动装置结构简单，在分析线圈及其所在支架动力学情况时，可以根据牛顿第二定律直接得到电磁驱动装置的力平衡方程为
Fe−Fc=Ksi−kv=Fm=ma=mdvdt (3) 式中：气隙磁场强度B与磁场中线圈长度l在电磁装置中均为常数，定义Ks=BL；动摩擦力Fc大小与动子运动速度v有关，设线圈绕组的动摩擦因数为k，则Fc=kv；a为动子运动的加速度.
3.2 电压平衡方程的建立
安培力Fe的大小仅与线圈中的电流有关. 设电磁驱动装置中电枢端的电压为u，当通电线圈在磁场中运动时，产生反电动势e=BLv=Ksv，且线圈可等效为电感L与电阻R串联，电磁驱动装置的等效电路如图8所示. 由于没有压电陶瓷等压敏器件，装置中通过的电流仅与电枢端的电压、线圈所处磁场强度以及线圈的等效阻抗有关.
根据基尔霍夫第二定律，可得电磁驱动装置的电压平衡方程式为
u=e+iR+Ldidt=Ksv+iR+Ldidt (4) 综合式（3）和式（4）即为电磁驱动装置的数学模型. 对其进行拉普拉斯变换，将中间变量Fe、e、i消去后，可得电枢电压u与电磁驱动装置位移变量x之间的传递函数为
G(s)=x(s)U(s)=KSLms3+(Lk+Rm)s2+(K2S+Rk)s (5) 电磁驱动装置数学模型框图如图9所示. 以电枢两端电压作为输入，经电枢反应生成电磁推力，此时线圈绕组获得加速度，经一次积分可得线圈绕组速度v(s)，引出动摩擦力与反电动势作为闭合回路反馈，进一步控制输入电压. 此过程中，驱动装置的结构简化使得系统数学模型简化为三阶线性模型，有利于进一步仿真及应用.
图 9 电磁驱动装置数学模型框图Figure 9. Block diagram of mathematical model of electromagnetic drive device4. Simulink仿真建模
4.1 Simulink仿真建模过程
根据图9的数学模型框图，采用Matlab中的Simulink软件搭建电磁驱动装置中位置伺服控制系统的仿真模型. 因采用电流环和位置环双闭环控制，故需设置两个调节器，又因电流环的结构比较简单，故将电流环作为内环，先设计电流环调节器，再将电流环作为位置环的一部分设计位置环调节器，最终得到电磁驱动装置伺服控制系统的动态结构，如图10所示.
图 10 电磁驱动装置控制系统动态结构图Figure 10. Dynamic structure diagram of control system of electromagnetic drive device电磁驱动装置主要参数见表2. 因电流环结构较为简单，故电流环调节器只需使用传统PI调节器即可满足控制要求且简化位置环的数学模型，对位置环调节器可考虑不同的优化控制算法. 本研究采用传统PID、前馈PID以及模糊PID等3种控制算法进行仿真，模型如图11所示. 为确保传统PID的控制性能，根据被控对象的参数模型，利用相角裕量法(GPM)来整定PID参数. 首先根据开环放大倍数确定积分增益ki，再算出微分增益kd，最后在仿真时根据临界比例度法对PID参数进行仿真调整，最终得到控制效果最佳的传统PID控制参数为kp = 718×104、ki = 150×107、kd = 8 580. 为保证仿真分析结果能体现3种控制算法的区别，在前馈PID和模糊PID中也选用同样的PID参数，在模糊PID中作为参数初始值. 根据得出的最佳PID参数进行求解微调，得到前馈系数为Kvff = −1.20、Kaff = 0.001 5.
表 2 电磁驱动装置主要性能参数Table 2. Main performance parameters of electromagnetic drive device参数 数值 线圈电阻R / Ω 8.3 线圈电感La / mH 2.5 驱动器动子质量m / kg 0.15 阻尼系数K /（N•s•m−1） 12.6 驱动装置力常数KS 14.1 电磁时间常数Tl / ms 0.3 机电时间常数tm / ms 6.26 
图 11 电磁驱动装置控制系统仿真模型Figure 11. Simulation model of control system of electromagnetic drive device传统、前馈—反馈PID仿真模型均使用Simulink中的Library Browser模块库里的模块，而模糊PID仿真模型中的Fuzzy PID Controller模块使用的是Subsystem封装模块，其内部模块构造如图12所示.
图 12 Fuzzy PID Controller 子系统模块内部模型Figure 12. Internal model of Fuzzy PID controller subsystem module根据量化因子与模糊及实际论域间的关系，通过示波器测得传统PID各参数的精确变化范围，通过仿真对计算数值进行调整，得出误差e的量化因子为Ke=3，误差变化率ec的量化因子为Kec=2.14×10−14，输出端的量化因子分别为KΔkp=325×102、KΔki=474×107和KΔkd=1 000.
4.2 结果分析
电磁驱动装置控制的主要目标是控制装置移动到设定的位置. 根据要求，移动结束后稳态误差应在微纳米级，这需要在移动过程中尽量不发生震荡，且能够对负载变化起一定抗干扰作用. 为便于比较分析3种算法的动、静态性能，给它们同一个在1 s时刻产生的阶跃信号作为输入信号，得到仿真结果如图13所示.
图 13 3种控制算法的阶跃响应曲线及稳态误差Figure 13. Step-response curves and steady-state errors of three control algorithms从图13(a)可知，在动态性能方面，3种控制算法的峰值分别为1.149、1.333和1.045，恢复到稳态值±5%范围内的最短时间分别为1.0045、1.0023以及1.0009 s，即传统PID控制算法的超调量为14.9%，调节时间约4.5 ms；模糊PID控制的超调量和调节时间分别为13.33%和2.3 ms；与之相比，前馈控制的动态性能则更好，超调量仅为4.52%，可视作无超调，调节时间仅0.9 ms. 在稳定误差方面，将3种控制算法的稳态输出结果与期望输出信号相减，得到稳态误差曲线如图13(b)至图13(d)所示. 最终得到传统PID的稳定误差约5.17 nm，前馈PID的稳定误差为1.5×10−5 nm，模糊PID控制稳定误差为0.5 nm. 根据以上分析可得：3种算法中前馈—反馈PID控制的动、静态性能最佳；其次为模糊PID控制；最差的是传统PID控制. 当输入信号稳定且被控对象固定不变时，前馈PID控制算法最适用于高精度的纳米定位系统. 而模糊PID控制的优点在于能够适应快速变化的被控对象，即突加负载的情况，如图14所示.
根据图14可知，当被控对象突加负载（被控对象函数突然变为原函数5倍）时，传统PID和前馈PID控制算法都有明显振荡，之后才恢复到稳定状态，而模糊PID控制算法依旧稳定. 当被控对象函数突增到原先10倍时，传统PID和前馈PID算法仿真因输出突破上限而无法进行，即不稳定，而模糊PID也依旧能恢复到稳定状态. 3种算法中，模糊PID控制的鲁棒性最好，可满足拥有携带负载（如药物搬运等）功能的纳米定位装置的要求.
5. 结 语
本研究针对微纳米定位系统设计双闭环控制，对传统PID、前馈PID及模糊PID控制算法进行仿真分析，得出以下结论.
1) 前馈—反馈PID算法的控制效果最好，在动态性能方面，超调量仅有其余两种算法的0.3034及0.3398；调节时间分别加快5.5及2.5倍. 在静态性能方面，稳态误差降低约3.33×104倍，与传统PID和模糊PID几纳米的稳定误差相比，在精度上有数个量级的优化.
2) 模糊PID算法的鲁棒性在3种算法中最佳，在被控函数突变为原先5倍时，依然能维持输出信号稳定无震荡，其余两种算法则都有显著震荡且当负载再增加时就无法维持稳定状态.
本研究提出的两种优化控制方案应用到电磁驱动的微纳米定位装置中，能有效提高其控制性能，迅速稳定地到达期望控制效果. 两种方案优化的侧重点不同，前馈PID在动、静态性能方面的提升优于模糊PID；模糊PID能够有效提高系统应对负载突变的鲁棒性.
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图 9 电磁驱动装置数学模型框图
Figure 9. Block diagram of mathematical model of electromagnetic drive device
图 10 电磁驱动装置控制系统动态结构图
Figure 10. Dynamic structure diagram of control system of electromagnetic drive device
图 11 电磁驱动装置控制系统仿真模型
Figure 11. Simulation model of control system of electromagnetic drive device
图 12 Fuzzy PID Controller 子系统模块内部模型
Figure 12. Internal model of Fuzzy PID controller subsystem module
图 13 3种控制算法的阶跃响应曲线及稳态误差
Figure 13. Step-response curves and steady-state errors of three control algorithms
表 1 模糊PID控制规则表
Table 1. Fuzzy PID control rules
ec e NB NM NS ZO PS PM PB NB PB / NB / PS PB / NB / NS PM / NM / NB PM / NM / NB PS / NS / NB Z / Z / NM Z / Z / PS NM PB / NB / PS PB / NB / NS PM / NM / NB PS / NS / NM PS / NS / NM Z / Z / NS NS / Z / Z NS PM / NB / Z PM / NM / NS PM / NS / NM PS / NS / NM Z / Z / NB NS / PS / NS NS / PS / Z ZO PM / NM / Z PM / NM / NS PS / NS / NS Z / Z / NS NS / PS / NS NM / PM / NS NM / PM / Z PS PS / NM / Z PS / NS / Z Z / Z / Z NS / PS / Z NM / PM / Z NM / PM / Z NM / PB / Z PM PS / Z / PB Z / Z / PS NS / PS / PS NM / PS / PS NM / PM / PS NM / PB / PS NB / PB / PB PB Z / Z / PB Z / Z / PM NS / PM / PM NM / PM / PM NM / PM / PS NM / PB / PS NB / PB / PB 
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表 2 电磁驱动装置主要性能参数
Table 2. Main performance parameters of electromagnetic drive device
参数 数值 线圈电阻R / Ω 8.3 线圈电感La / mH 2.5 驱动器动子质量m / kg 0.15 阻尼系数K /（N•s•m−1） 12.6 驱动装置力常数KS 14.1 电磁时间常数Tl / ms 0.3 机电时间常数tm / ms 6.26
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