最低工资制度是国家为维护劳动者获得劳动报酬的合法权益，是改善弱势劳动者收入状况，保障劳动者及其家庭成员基本生活，促进收入分配公平和建立和谐劳动关系的重要保障^[1]. 如何科学制定最低工资标准，建立切实有效的最低工资制度，从而平衡劳资双方的利益分配，实现工资增长与生产就业的协调，是值得探索的重要命题.

国内外开展了一系列最低工资标准的理论研究和实证分析^[2-6]. 国外对最低工资标准的研究较早，主要包括最低工资标准的理论研究，对企业收益和劳动者就业的影响以及最低工资标准的实证研究. 国内对最低工资标准实施和研究都起步较晚，主要包括最低工资标准的必要性探讨，最低工资标准定性分析和定量研究等. Fang等^[5]对我国不同区域进行划分，发现最低工资标准变动对我国东部和中部地区的就业产生了不同程度的影响. 张学鹏等^[6]利用我国31个省和直辖市面板数据，分析收入、支出和劳动力市场供求状态等3个因素对最低工资标准的影响，发现城镇居民定基消费者价格指数和城镇最低生活保障标准对最低工资标准影响最大，人均生产总值次之. 杨莲秀^[7-8]分别利用主成分分析和线性回归模型对上海市最低工资标准的影响因子进行定性分析和定量研究. 此外，粗糙集、灰色关联分析、人工神经网络模型等工程领域模型也被引入上海市最低工资标准的测算等相关研究^[9-12]. 但这些研究多集中于对已知最低工资标准的定量研究，缺乏对未来短期内最低工资标准的预测研究.

灰色系统是一种关于贫信息、小样本、不确定性问题的研究方法^[13]. 灰色预测是基于灰色系统理论的一种预测方法，其基本原理是将随机的、不确定的、无历史规律的原始数据通过一次累加生成呈指数增长规律的数列，从而建立灰微分方程进行预测的一种方式^[14]. 灰色预测在自然科学领域得到广泛的应用^[15-16]，其中，一个变量的一阶微分方程构成的GM(1,1)模型应用最为广泛. 但GM(1,1)模型仅考虑过去全体数据，随着时间的推移，一些潜在的扰动因素将不断干扰系统的稳定性. 因此，利用这种模型进行预测时，预测精度会随时间的推移快速下降. 为弥补上述模型缺陷，学界引入新陈代谢GM(1,1)模型，即在建模时逐步剔除最早期的一个数据，同时加入新预测的数据，依次递补、逐个预测，直到完成所有预测目标.

本研究以灰色系统理论为基础，构建常规GM(1,1)模型和灰色新陈代谢GM(1,1)模型对上海市最低工资标准进行预测研究.

1.   模型和方法

1.1   数据来源

2000—2019年上海市最低工资标准和全市职工平均工资数据来源于上海市人力资源与社会保障网(http://rsj.sh.gov.cn/201712333/index.shtml). 历年来上海市最低工资标准及其增长变化如图1所示. 由图可以看出，上海市最低工资标准与职工月平均工资之比在“十二五”期间快速增长，最低工资标准调整幅度分别达到14.29%，13.28%，11.72%，12.35%和10.99%，平均年增长12.53%，基本符合《人力资源和社会保障事业发展“十二五”规划纲要》设定目标. “十三五”之后逐渐下调最低工资标准增长幅度. 总体来看，上海市最低工资标准与职工月平均工资之比始终低于40%.

图  1  2000—2019年上海市最低工资标准及增幅变化

Figure  1.  Changes of minimum wage standard and increase rate in Shanghai from 2000 to 2019

下载: 全尺寸图片 幻灯片

1.2   灰色系统和灰色预测

黑色系统是指系统内部信息完全未知的系统状态，白色系统是指系统内部特征完全透明、已知的系统状态，而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统状态^[17]. 灰色系统内部信息一部分是已知的，另一部分信息是不确定或者完全未知的状态. 灰色预测是指通过对以往系统行为特征值的提取，从而对包含已知信息又包含不确定信息的系统作出预测的行为. 尽管灰过程中所显示的现实规律是杂乱无章的、随机出现的，但系统毕竟是有序的、在一定范围内波动的. 因此，得到的数据集合具有潜在的规律性. 灰色预测就是利用这种潜在的规律性来建立模型并进行系统预测的.

GM(1,1)模型是基于实际状态的随机原始时间序列，按时间节点进行累积后所形成的新时间序列，其呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近. 灰色预测通过对原始时间序列状态进行处理，建立灰色模型，发现、掌握、提炼灰色系统内部潜在的发展规律，对系统未来状态做出科学、合理的定量预测.

1.3   常规GM(1,1)模型

设变量${X}^{\left(0\right)}={\{X}^{\left(0\right)}\left(i\right),i={1,2},\cdots ,n\}$为某一预测变量的原始数据集，呈非负单调递增趋势. 为建立灰色预测模型，首先对原始数据X⁽⁰⁾进行累加生成运算（Accumulated Generating Operation, AGO），生成一次累加1-AGO序列X⁽¹⁾

定义Z⁽¹⁾为X⁽¹⁾的紧邻均值生成序列，则有

建立灰微分方程

记$\widehat{\alpha }={\left(a,b\right)}^{{\rm{T}}}$，则灰微分方程的最小二乘法估计参数满足

其中

称$\dfrac{{{\rm{d}}X}^{\left(1\right)}}{{\rm{d}}t}+a{X}^{\left(1\right)}=b$为灰微分方程(3)的白化方程，也称为影子方程. 白化方程的解称为时间响应函数，公式为

GM(1,1)灰微分方程${X}^{\left(0\right)}\left(k\right)+a{z}^{\left(1\right)}\left(k\right)=b$的时间响应序列为

将${X}^{(1)}\left(0\right)={X}^{(0)}\left(1\right)$代入式（7）中，则有

将数值进行还原，得到灰色系统GM(1,1)模型的预测方程为

1.4   灰色新陈代谢GM(1,1)预测模型

进行1次灰色预测得到最临近时间点的信息数据X⁽⁰⁾(n+1)以后，在原始数据序列中去除序列中最早的信息X⁽⁰⁾(1)，同时增加最新获取的信息，即新数据集$\Big\{{X}^{\left(0\right)}\left(2\right),{X}^{\left(0\right)}\left(3\right),\cdots ,{X}^{\left(0\right)}\left(n+1\right)\Big\}$作为原始序列重复1.3节的步骤，建立新陈代谢GM(1,1)模型. 如此反复，依次递补直到完成预测目标，即为灰色新陈代谢GM(1,1)预测模型.

1.5   模型精度检验

为确保所建立的灰色预测模型有较高的可信程度和预测精度，通常需要进行残差检验、后验差检验及关联度检验.

X⁽⁰⁾为原始序列；${\widehat{{X}}}^{\left(0\right)}$为灰色系统GM(1,1)模型的模拟序列；$\varepsilon$为残差序列，$\varepsilon \left(k\right)={X}^{\left(0\right)}-{\widehat{X}}^{\left(0\right)}\left(k\right)$；$\varDelta =$$\{{\varDelta }_{1},{\varDelta }_{2},\;\cdots ,{\varDelta }_{{n}}\}$为相对误差序列. 其中：${\varDelta }_{{k}}=\left|\dfrac{\mathrm{\varepsilon }\left({k}\right)}{{{X}}^{\left(0\right)}\left({k}\right)}\right|$，${\varDelta }_{{k}}$为$k$时间点的模拟相对误差；$\bar {\varDelta }=\dfrac{\displaystyle\sum {\varDelta }_{{k}}}{{n}-1}$为平均相对误差；$p=1-\bar {\varDelta }$为模型预测精度，以百分数表示；${S}_{{1}}=\sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum {({\varepsilon }_{i}-\bar {\varepsilon })}^{2}}{n-1}}$为残差均方差；${S}_{{2}}=\sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum {\left({X}^{\left(0\right)}(k)-\bar {X}\right)}^{2}}{n}}$为原始序列均方差. 其中：$\bar {\mathrm{\varepsilon }}=\dfrac{\displaystyle\sum {\mathrm{\varepsilon }}_{\mathrm{{{\rm{{\rm{i}}}}}}}}{{n}-1}$；${\bar {{X}}}^{\left(0\right)}=\dfrac{\displaystyle\sum {{X}}^{\left(0\right)}\left({k}\right)}{{n}}$. 定义后验差比值$C=\dfrac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$. 灰色模拟序列${\widehat{{X}}}^{\left(0\right)}$与原始序列X⁽⁰⁾的关联度${r}=\dfrac{1}{{n}}\displaystyle\sum \mathrm{\eta }\left({k}\right)$，其中：$\mathrm{\eta }\left({k}\right)$为${\widehat{{X}}}^{\left(0\right)}$与${{X}}^{\left(0\right)}$的关联系数，公式为

式中：$\rho$为分辨率，$\rho \in \left({0,1}\right)$，一般$\rho =0.5$. 依据经验，当$\rho =0.5$时，关联度$r>0.55$时，所建立的灰色模型达到满意的预测效果. 根据灰色系统理论，通常平均相对误差$\bar {\varDelta }$和后验差C值越小，平均相对精度p越大模型预测精度越好. 灰色预测模型分为4个不同等级，见表1，一级和二级模型预测精度较高.

表  1  灰色模型预测精度检验等级参照

Table  1.  Reference of prediction accuracy test of gray model

模型等级	平均相对误差	平均相对精度p	C值
一级（优）	≤1%	≥95%	≤0.35
二级（合格）	≤5%	80%≤p<95%	0.35<C≤0.5
三级（勉强合格）	≤10%	70%≤p<80%	0.5<C≤0.65
四级（不合格）	≤20%	<70%	>0.65

下载: 导出CSV 

| 显示表格

2.   实证分析

2.1   常规GM(1,1)模型

首先，以2007—2015年最低工资标准构建常规GM(1,1)模型，2016—2019年数据用于检验常规GM(1,1)模型的预测精度. 利用R软件自定义程序实现模型参数的计算和预测. 2016—2019年上海市最低工资标准预测值与实际值差异见表2.

表  2  常规GM(1,1)模型的预测结果及预测精度

Table  2.  Prediction result and prediction accuracy of conventional GM(1,1) model

年份	实际值 / （元·月−1）	预测值 / （元·月−1）	残差 / （元·月−1）	相对误差 / %	预测精度 / %
2016	2 190	2 313	123	5.62	94.38
2017	2 300	2 614	314	13.65	86.35
2018	2 420	2 953	533	22.02	77.98
2019	2 480	3 337	857	34.56	65.44

下载: 导出CSV 

| 显示表格

从表2可以看出，常规GM(1,1)模型对2016年上海市最低工资标准预测值为2 313元 / 月，与实际值相差123元 / 月，相对误差为5.62%，预测精度较高. 2017—2019年预测值与实际值随时间推移相差越来越大. 常规GM(1,1)模型对未来状态预测的精度随时间推移逐渐减小.

2.2   灰色新陈代谢GM(1,1)模型

本研究继续以2007—2015年最低工资标准数据构建新陈代谢GM(1,1)基础模型，对上海市最低工资标准进行预测. 去除2007年最低工资标准值，将2016年最低工资标准值纳入模型原始数据之中，即采用2008—2016年最低工资标准数据建立灰色新陈代谢GM(1,1)模型1，对2017—2019年最低工资标准进行预测. 2017—2019年最低工资标准预测值分别为2 509、2 810和3 147元/月，预测精度分别为90.91%、83.88%和73.10%，精度相对于常规模型都有所提高. 随着预测时间的推移，预测精度逐渐下降. 继而，以2009—2017年最低工资标准数值作为原始数据构建灰色新陈代谢GM(1,1)模型2，并对2018—2019年最低工资标准进行预测，预测值分别为2 639和2 917元/月，预测精度分别为90.95%和82.38%，模型2预测精度较模型1有所提高；以2010—2018年最低工资标准数据作为原始数据构建灰色新陈代谢GM(1,1)模型3，用于预测2019年最低工资标准，预测结果显示2019年最低工资标准为2 743元/月，预测精度为89.40%. 3个新陈代谢GM(1,1)模型对上海市最低工资标准预测值与实际值差异见表3. 3个新陈代谢GM(1,1)模型对2016—2019年最低工资的预测值的平均值分别为2 313、2 509、2 639和2 743元/月. 与实际值相比，预测精度分别为94.38%、90.91%、90.95%和89.40%. 常规GM(1,1)模型和灰色新陈代谢GM(1,1)模型预测值与实际值比较如图2所示，常规GM(1,1)模型预测平均精度为81.04%，灰色新陈代谢GM(1,1)模型预测平均精度为91.41%. 灰色新陈代谢模型对最低工资标准的预测比常规模型预测精度高.

表  3  灰色新陈代谢GM(1,1)模型的预测结果及预测精度

Table  3.  Prediction result and prediction accuracy of gray metabolism GM(1,1) model

灰色新陈代谢GM(1,1)模型	年份	实际值 / （元·月−1）	预测值 / （元·月−1）	残差 / （元·月−1）	相对误差 / %	预测精度 / %
模型1	2017	2300	2509	209	9.09	90.91
	2018	2420	2810	390	16.12	83.88
	2019	2480	3147	667	26.90	73.10
模型2	2018	2420	2639	219	9.05	90.95
	2019	2480	2917	437	17.62	82.38
模型3	2019	2480	2743	263	10.60	89.40

下载: 导出CSV 

| 显示表格

图  2  灰色新陈代谢模型和常规模型预测值与实际值比较

Figure  2.  Comparison of prediction results of gray metabolism and conventional model with actual values

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.3   不同维数基础模型的优选

灰色新陈代谢GM(1,1)模型的构建是以常规模型作为基础，以2003—2019年上海市最低工资标准作为基础数据，分别建立2003—2019年、2005—2019年、2007—2019年、2009—2019年、2011—2019年、2013—2019年和2015—2019年的17维、15维、13维、11维、9维、7维和5维等7个基础模型. 不同维数基础模型对原始数据的拟合精度见表4，预测结果如图3所示. 2020年和2021年最低工资标准预测值随基础模型维数的增加而增加，不同维数基础模型对原始数据拟合的平均相对精度随基础模型维数的增加而下降. 其中，5维基础模型拟合效果最好，预测精度最高，可用于未来短期内上海市最低工资标准的预测研究.

表  4  不同维度基础GM(1,1)模型精度比较

Table  4.  Comparison of prediction accuracy of different dimensional GM(1,1) models

基础模型	维度	平均相对误差 / %	平均相对精度 / %	C值	模型等级
模型1	5	0.61	99.39	0.0620	优
模型2	7	2.10	97.90	0.0945	合格
模型3	9	3.51	96.49	0.1090	合格
模型4	11	4.70	95.30	0.1109	合格
模型5	13	6.42	93.58	0.1097	合格
模型6	15	7.37	92.63	0.1048	合格
模型7	17	7.67	92.33	0.1012	合格

下载: 导出CSV 

| 显示表格

图  3  不同维度基础GM(1,1)模型预测结果比较

Figure  3.  Comparison of prediction results of different dimensional GM(1,1) models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.4   未来三年次最低工资标准调整幅度预测

利用2015—2019年上海市最低工资标准构建5维灰色新陈代谢基础模型，对上海市最低工资标准进行拟合和预测，结果见表5和表6. 新陈代谢GM(1,1)模型对2015—2019年最低工资标准拟合相对误差均小于1.5%，模型拟合相对误差较小，预测精度较高，可用于未来短期内上海市最低工资标准的预测研究. 预测结果显示：未来第一年次最低工资标准预测值为2 604元 / 月，取整数值为2 600元 / 月，较2019年增加120元 / 月；进一步去除2015年实际值，添加最新预测值到原始数据中，未来第二年次最低工资标准进行预测，预测值为2716元 / 月，取整后为2710元 / 月，较上一年次增加110元 / 月；继续去除2016年实际值，添加第二年次预测值，对第三年次最低工资标准进行预测，预测值为2832元 / 月，取整后为2830元 / 月，较上一年次增加120元 / 月. 未来三年次上海市最低工资标准调整幅度分别为4.84%、4.23%和4.43%.

表  5  5维灰色新陈代谢GM(1,1)模型最低工资标准模拟结果

Table  5.  Simulation result of minimum wage standard using 5-dimensional gray metabolism GM(1,1) model

年份	实际值 / （元·月−1）	预测值 / （元·月−1）	绝对误差 / （元·月−1）	相对误差 / %
2015	2020	2020	0	0.00
2016	2190	2201	11	0.50
2017	2300	2295	−5	−0.22
2018	2420	2394	−26	−1.07
2019	2480	2497	17	0.69

下载: 导出CSV 

| 显示表格

表  6  灰色新陈代谢GM(1,1)模型最低工资标准预测结果

Table  6.  Prediction result of minimum wage standard using gray metabolism GM(1,1)

未来调整年次	预测值 / （元·月−1）	取整数值 / （元·月−1）	调整数值 / （元·月−1）	调整幅度 / %
1	2604	2600	120	4.84
2	2716	2710	110	4.23
3	2832	2830	120	4.43

下载: 导出CSV 

| 显示表格

3.   讨　论

本研究利用灰色系统常规GM(1,1)模型和灰色新陈代谢GM(1,1)模型对上海市最低工资标准进行了模拟和预测，综合比较两种方法对最低工资标准的模拟结果发现：灰色新陈代谢GM(1,1)模型在预测过程中不断添加新获取的信息，及时去除陈旧信息，从而降低对模型模拟结果的干扰. 新陈代谢GM(1,1)模型比常规GM(1,1)模型更能接近实际情况；两种模型的基础模型是一致的，基础模型拟合精度随原始数据维数的增加而降低，过于陈旧的信息对于模型的预测精度影响较大，对未知状态的预测应充分利用最近时期内的有效数据. 灰色系统GM(1,1)模型通俗易懂、计算简单、可操作性和适应性强. 灰色系统模型相对于线性预测模型具有精度高的特点，同时也没有神经网络等专家系统模型样本容量需求大和实现困难的弊端^{[9, 11]}，应用在未来短期内最低工资标准预测上具有重要的现实意义.

灰色GM(1,1)模型预测方法，不同于数理统计方法需要较长的序列数据，这是灰色系统预测的优越性. 系统的变化同时收到新旧信息的影响，在过去时间段内，旧因素占住主导地位；在现在和未来时间段内，新因素就逐渐起到控制作用. 因此，用来预测的原始序列过短，就难免出现单一化、片面化的问题. 在研究上海最低工资标准调整幅度的问题中，利用2015—2019年最低工资标准构建5维灰色新陈代谢GM(1,1)模型，其拟合和预测准确度最高；既保证了系统内部信息的有效提取，同时有效避免了原始序列过短所导致的系统波动对预测结果的放大作用. 预测结果显示上海市最低工资标准未来3个年次将分别调整为2 600，2 710和2 830元/月（取整后数值），调整幅度分别为4.84%，4.23%和4.43%. “十二五”期间，上海市最低工资标准调整幅度分别为14.29%，13.28%，11.72%，12.35%和10.99%，平均年增长12.53%；2016年，上海市最低工资标准增长率下调至8.42%，2017和2018年最低工资标准调整幅度稳定在5%左右. 2018年，上海市政府在《关于全面提升民营经济活力大力促进民营经济健康发展的若干意见》中明确提出降低民营企业要素成本，结合企业诉求，平稳调整最低工资标准. 实现最低工资标准的平稳调整就要求调整幅度不能过高，但是也不能不进行调整. 原因在于上海市最低工资标准的调整一直走在全国前列，年均调整一次，全国各地都要参考、比对上海的做法. 但是，2020年国内外受到新冠肺炎疫情影响，全国经济社会活动严重受阻，上海市政府决定最低工资标准在该年度不进行调整. 依据上海市平稳调整最低工资标准的目标，在未来3个年次进行调整时，其调整幅度应该控制在5%左右. 因此，本研究所建立的灰色新陈代谢GM(1,1)模型对未来短期内上海市最低工资标准的调整幅度进行预测，其预测结果符合上海市政府对最低工资标准平稳调整的规划目标.

4.   结 语

最低工资制度的实施，在维护基层劳动者取得劳动报酬的合法权益，保障劳动者及其赡养家庭成员的基本生活需求方面起到了非常重要的保障作用.本研究利用自然科学领域灰色系统理论方法对上海市历年来最低工资标准所蕴含的特征和规律进行有效提取，从而构建灰色新陈代谢GM(1,1)模型，对上海市最低工资标准进行预测研究. 该方法样本容量需求少，简单易懂，实现容易，能够对短期时间范围内的状态进行有效预测，且具有较高预测精准度；同时，该方式具有较强的适用性，适用于上海市未来最低工资标准调整的预测，能够更好地为政府和企业制定相关决策提供科学的依据，具有一定的理论意义和现实意义.