基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法

仇文凯; 王克用

基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法

仇文凯,
王克用^,

上海工程技术大学机械与汽车工程学院，上海 201620

基金项目: 上海市自然科学基金资助项目（19ZR1421400）

详细信息

作者简介:
仇文凯（1994−），男，在读硕士，研究方向为杂交有限元法. E-mail：1428927660@qq.com

通讯作者:
王克用（1975−），男，副教授，博士，研究方向为Trefftz有限元法和多孔介质传热. E-mail：keyong_wang@126.com

中图分类号: O 343.1
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出版历程
- 收稿日期: 2020-06-01
- 刊出日期: 2020-12-30

Hybrid Fundamental-Solution-Based FEM for Heat Conduction Problems in Orthotropic Materials

QIU Wenkai,
WANG Keyong^,

School of Mechanical and Automotive Engineering, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China

摘要

摘要: 采用基于杂交基本解的有限元法（HFS-FEM）对二维正交各向异性材料进行热传导分析. 单元域内和单元边界上的温度分布由两个温度场独立描述. 采用基本解的线性组合来近似单元内部温度场，采用标准一维线单元形函数来定义网线温度场. 利用修正变分泛函和散度定理导得相应的有限元列式，通过2个算例与ABAQUS结果对比，验证了该方法具有有效性. 数值结果表明，该方法在单元形状极度扭曲情形下仍能保持良好的精度，这是区别于传统有限元法的显著特点.
- 热传导 /
- 有限元法 /
- 基本解 /
- 坐标变换 /
- 正交各向异性材料
Abstract: A heat conduction analysis of two-dimensional orthotropic materials was carried out by the hybrid fundamental-solution-based finite element method (HFS-FEM). Temperature distributions within the element domain and on the element boundary were independently described by two temperature fields. A linear combination of fundamental solutions was utilized to approximate the intra-element temperature field while standard one-dimensional shape functions were employed to define the frame temperature field. By virtue of the modified variational functional and divergence theorem, the resultant finite element formulation was derived. The effectiveness of the proposed method was verified by comparing two numerical examples with ABAQUS result. The numerical results demonstrate that the proposed method can still keep excellent accuracy even when the element shape degenerates to a situation of extreme distortion. This is one of marked features which differs from conventional finite element methods.
- heat conduction /
- finite element method（FEM） /
- fundamental solution /
- coordinate transformation /
- orthotropic materials

HTML全文

材料按照性质和内部结构，一般可分为各向同性材料和各向异性材料. 各向同性材料具有简单、优良的特性，在材料工程领域得到广泛的应用^[1-3]. Wang等^[1]采用基于杂交基本解的有限元方法（HFS-FEM）研究各向同性材料的热传导问题. Gao^[2]提出一种求解各向同性材料热传导问题的无网格边界元方法. 目前，在汽车、造船、机械加工、航空航天、军工等工程领域中，许多各向同性材料还不能满足性能需求，因此，研究各向异性材料仍具有重要的理论和实际意义.

在热传导问题^[4-5]中，各向异性材料可分为一般各向异性材料和正交各向异性材料^[6-9]. 各向异性材料的导热系数在各个方向上是不同的：一般各向异性材料导热系数张量中的所有元素都不为零，而正交各向异性材料导热系数张量中只有主对角线上的元素不为零. 根据导热系数的不同形式，正交各向异性材料可以进一步细分为常系数或变系数两种情况. 目前，关于用边界元法研究正交各向异性热传导问题的报道有很多. Perez等^[10]研究一般积分方程公式并用于求解均匀正交各向异性位势问题. Divo等^[11]推导正交各向异性问题基本解的形式. Zhou等^[12]针对二维正交各向异性位势问题，建立一个新的势导数边界积分方程，称为自然边界积分方程（NBIE）. 通过边界元法以及其他数值方法分析此类问题已经开展了许多工作，而利用杂交基本解有限元法分析正交各向异性热传导问题的报道却非常少.

杂交基本解有限元法是基于杂交Trefftz法的一种高效数值方法. Trefftz方法是由Trefftz于1926年提出的，利用满足控制方程的叠加函数来求解边值问题. 随后，Jirousek等^[13]于1977年提出杂交Trefftz有限元法，将边界概念推广到单元间边界，并在单元内部构造满足非齐次Lagrange方程的坐标函数. 目前，杂交Trefftz有限元法已成功地应用于许多工程问题，如位势问题^[14-15]、平面弹性问题^[16]、夹杂分析^[17-18]、接触问题^[19]、轴对称问题^[20-21]等. Wang等^[22]采用杂交Trefftz有限元法（HT-FEM），以T-完备函数作为内部插值函数，研究轴对称位势问题. Wang等^[23]基于完备解系提出分析正交各向异性位势问题的杂交Trefftz有限元模型. 王克用等^[24]利用杂交完备解有限元法分析功能梯度材料位势问题. 刘博等^[25]利用含有特解的Poisson方程分析杂交Trefftz有限元法的轴对称问题. 杂交基本解有限元法的原始思想由Kompiš等^[26]提出，其利用基本解近似位移场和应力场，并利用网线函数来实现相邻单元之间的连接. 高可乐等^[27]采用杂交基本解有限元法分析考虑体力项的轴对称弹性问题，与杂交Trefftz完备解有限元法相比，该方法可避免T-完备函数项选取困难，直接利用基本解来构造满足控制微分方程的单元内部插值函数. 此外，与边界元法相比，该方法消除了积分奇异性的缺点，在网格畸变方面表现出良好性能^[28].

本文基于文献[10-12, 23]的研究工作，利用杂交基本解有限元法分析正交各向异性材料的热传导问题.

1. 问题描述及基本方程

设 $u$ 为温度； $Q$ 为内部热源；k为各向异性材料的导热系数张量， ${{k}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{11}}}&{{k_{12}}} \\ {{k_{21}}}&{{k_{22}}} \end{array}} \right]$ ，二维各向异性热传导问题的控制方程可表示为

$\begin{split} &{k_{11}}\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + {k_{12}}\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {k_{21}}\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial y\partial x}} + \\ &\quad \quad\quad\quad{k_{22}}\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + Q = 0\;\;\;\;\;({\text{在}}\Omega{\text{内}}) \end{split}$

(1)

当 ${k_{12}} = {k_{21}} = 0$ ， ${k_{11}} \ne {k_{22}} \ne 0$ ， $Q = 0$ 时，式（1）可表示为

${k_{11}}\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + {k_{22}}\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\;\;\;\;({\text{在}}\Omega{\text{内}})$

(2)

式（2）即为二维正交各向异性热传导问题的控制方程. 考虑Dirichlet和Neumann两类边界条件，为

$u = \bar u\;\;\;\;\;({\text{在}}{\Gamma _u}{\text{上}})$

(3)

$q = {k_{11}}\dfrac{{\partial u}}{{\partial x}}{n_x} + {k_{22}}\dfrac{{\partial u}}{{\partial y}}{n_y} = \bar q\;\;\;\;\;\;({\text{在}}{\Gamma _q}{\text{上}})$

(4)

式中： $\bar u$ 和 $\bar q$ 分别为给定的温度和热流； ${n_x}$ 和 ${n_y}$ 分别为边界上任意点外法线向量的分量； $\Gamma = {\Gamma _u} \cup {\Gamma _q}$ 为求解区域的整个边界.

2. 假定温度场

与杂交Trefftz有限元法类似，杂交基本解有限元法采用两套假定的温度场来建立有限元模型，包括非协调单元内部温度场和辅助协调网线场. 精确满足控制方程的单元内部温度场，可保证单元内各点的计算精度，而相邻单元之间则由独立定义在单元边界上的辅助协调网线场连接，与杂交Trefftz有限元法不同的是，单元内部温度场由已知的基本解而不是T-完备函数构造.

2.1 非协调单元内部温度场

对于正交各向异性热传导问题，非协调的单元内部温度场可以表示为

$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{u_\varepsilon }\left( {{x}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^{{n_{\rm{s}}}} {{{{N}}_{{e}}}\left( {{{x}},{{{y}}_j}} \right)} \,{c_{\varepsilon j}} = {{{{{N}}}}_\varepsilon}\left( {{x}} \right){{{{{c}}}}_\varepsilon}\;\;\;({\text{在}}{{\Omega }_\varepsilon}{\text{内}})$

(5)

式中： ${n_{\rm{s}}}$ 为每个单元的源点个数； ${c_{ej}}$ 为待定参数； ${{{N}}_e }\left( {{{x}},{{{y}}_j}} \right)$ 为二维正交各向异性热传导问题的基本解； ${{\Omega }_e}$ 为边界 ${\Gamma _e}$ 包围的单元域. 问题的基本解^[10-12]应完全满足方程

$\begin{split} &{k_{11}}\dfrac{{{\partial ^2}{{{N}}_e}({{x}},{{y}})}}{{\partial {x^2}}} + {k_{22}}\dfrac{{{\partial ^2}{{{N}}_e}({{x}},{{y}})}}{{\partial {y^2}}} + \\ &\delta \left( {{{x}},{{y}}} \right) = 0\;\;\;\;({\text{在}}{\Omega }{\text{内}}) \end{split}$

(6)

其中

${{{N}}_\varepsilon }\left( {{{x}},{{y}}} \right) = \dfrac{1}{{2{\rm{{\text{π}} }}\sqrt {{k_{11}}{k_{22}}} }}\ln \dfrac{1}{r}$

(7)

式中： $r = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_P} - {x_Q}} \right)}^2}}}{{{k_{11}}}} + \dfrac{{{{\left( {{y_P} - {y_Q}} \right)}^2}}}{{{k_{22}}}}}$ 、 ${x_P}$ 和 ${y_P}$ 分别为场点坐标； ${x_Q}$ 和 ${y_Q}$ 分别为源点坐标. x向和y向的温度梯度可表示为

$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{{\partial u}}{{\partial {x_P}}} = - \dfrac{{\left( {{x_P} - {x_Q}} \right)}}{{2{\text{π}} {k_{11}}\sqrt {{k_{11}}{k_{22}}} \left[ {\dfrac{{{{\left( {{x_P} - {x_Q}} \right)}^2}}}{{{k_{11}}}} + \dfrac{{{{\left( {{y_P} - {y_Q}} \right)}^2}}}{{{k_{22}}}}} \right]}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(8)

$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{{\partial u}}{{\partial {y_P}}} = - \dfrac{{\left( {{y_P} - {y_Q}} \right)}}{{2{\text{π}} {k_{22}}\sqrt {{k_{11}}{k_{22}}} \left[ {\dfrac{{{{\left( {{x_P} - {x_Q}} \right)}^2}}}{{{k_{11}}}} + \dfrac{{{{\left( {{y_P} - {y_Q}} \right)}^2}}}{{{k_{22}}}}} \right]}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(9)

采用以下关系确定源点的布局，为

${{{y}}} = {{{x}}_{\rm{b}}} + \lambda ({{{x}}_{\rm{b}}} - {{{x}}_{\rm{c}}})$

(10)

式中： ${{{x}}_{\rm{c}}}$ 为单元形心； ${{{x}}_{\rm{b}}}$ 为单元边界上的点； $\lambda$ 为无量纲参数. 特殊单元的源点分布如图1所示.

图 1 两个假定温度场及其源点

Figure 1. Two assumed temperature fields with source points

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2.2 辅助协调网线温度场

为保证相邻2个单元之间的连续性，在单元边界上建立一个辅助协调的网线温度场，为

${\widetilde u_\varepsilon }\left( {{x}} \right) = {\widetilde {{{{N}}}}_\varepsilon}\left( {{x}} \right){{{{{d}}}}_\varepsilon}\left( {{x}} \right)\;\;\;\;({\text{在}}{\Gamma _\varepsilon}{\text{上}})$

(11)

式中： ${\widetilde {{{{N}}}}_e}\left( {{x}} \right)$ 为形函数向量； ${{{{{d}}}}_e}$ 为由单元的节点自由度组成的向量. 两节点单元边上的形函数如图2所示.

图 2 两节点单元边上的形函数

Figure 2. Shape functions on each two-node side of an element

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沿单元每两节点边上的温度分布为

$\tilde u\left( {{x}} \right) = {\tilde u_1}\widetilde {{N_1}}\left( {{x}} \right) + {\tilde u_2}\widetilde {{N_2}}\left( {{x}} \right)$

(12)

其中， $\widetilde {{N_1}}$ 和 $\widetilde {{N_2}}$ 为在自然坐标系中 $\xi \in [ - 1,\;1]$ 定义的一维形函数，可表示为

$\left\{ {\begin{array}{l} \widetilde {{N_1}} = \dfrac{{\left( {1-\xi } \right)}}{2}\\ \widetilde {{N_2}} = \dfrac{{\left( {1+\xi } \right)}}{2}\end{array}} \right.$

(13)

相应地，热流可表示为

${q_e} = {k_{11}}\dfrac{{\partial {u_e}}}{{\partial x}}{n_x} + {k_{22}}\dfrac{{\partial {u_e}}}{{\partial y}}{n_y} = {{{{{Q}}}}_e}{{{{{c}}}}_e}$

(14)

其中

$\left\{ {\begin{array}{l} {{{{{Q}}}}_{{e}}} = {{{{{AT}}}}_{{e}}}\\ {{{{A}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{11}}{n_x}}&{{k_{22}}{n_y}} \end{array}} \right)\\ {{{{{T}}}}_e} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {{{{{N}}}}_e}}}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial {{{{{N}}}}_e}}}{{\partial y}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}\end{array}} \right.$

(15)

3. 杂交基本解有限元列式

3.1 修正的变分泛函

热传导问题总的杂交变分泛函可以通过 ${\displaystyle\prod\nolimits_m}=\displaystyle\sum\limits_e {{\prod\nolimits_{me}}}$ 得到，其中每个单元上的泛函 ${\displaystyle\prod\nolimits_{me}}$ 可表示为

$\begin{split} {\prod\nolimits_{me}} =& \dfrac{1}{2}\int_{{\Omega _e}} {{k_{ij}}{u_{,i}}{u_{,i}}{\rm{d}}\Omega } - \int_{{\Gamma _{eu}}} {{q_e}{{\bar u}_e}{\rm{d}}\Gamma +} \\ &\int_{{\Gamma _{eq}}} {\left( {{{\bar q}_e} - {q_e}} \right){{\tilde u}_e}{\rm{d}}\Gamma - \int_{{\Gamma _{eI}}} {{q_e}{{\tilde u}_e}{\rm{d}}\Gamma } } \end{split}$

(16)

其中

$\begin{split} &\int_{{\Omega _e}} {{k_{ij}}{u_{,i}}{u_{,i}}{\rm{d}}\Omega } = \int_{{\Omega _e}} {\left[ {{k_{11}}{{\left( {\dfrac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)}^2} +} \right.}\\ &\quad{{\left.{k_{22}}{{\left( {\dfrac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)}^2} \right]}{\rm{d}}\Omega} \end{split}$

(17)

将散度定理应用到式（17），可以得到

$\begin{split} & \displaystyle\int_{{\Omega _e}} {{k_{ij}}{u_{,i}}{u_{,i}}{\rm{d}}\Omega = }\\ & \quad\displaystyle\int_{{\Omega _e}} {\left[ {{k_{11}}{{\left( {\dfrac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {k_{22}}{{\left( {\dfrac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}\Omega } =\\ & \quad \displaystyle\int_{{\Gamma _e}} {\left[ {{k_{11}}{u_e}\dfrac{{\partial u}}{{\partial x}}{n_x}{\rm{d}}\Gamma + {k_{22}}{u_e}\dfrac{{\partial u}}{{\partial y}}{n_y}{\rm{d}}\Gamma } \right]} - \\ &\quad \displaystyle\int_{{\Omega _e}} {{u_e}\left[ {{k_{11}}\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + {k_{22}}\dfrac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}} \right]} \,{\rm{d}}\Omega \end{split} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(18)

考虑到问题的控制方程，式（18）可进一步表示为

$\begin{split} &\displaystyle\int_{{\Omega _e}} {{k_{ij}}{u_{,i}}{u_{,i}}{\rm{d}}\Omega = }\\ &\quad\displaystyle\int_{{\Gamma _e}} {\left[ {{k_{11}}{u_e}\dfrac{{\partial u}}{{\partial x}}{n_x}{\rm{d}}\Gamma + {k_{22}}{u_e}\dfrac{{\partial u}}{{\partial y}}{n_y}{\rm{d}}\Gamma } \right]}\end{split}$

(19)

将式（19）代入式（16）可得

$\begin{split} &\prod\nolimits_{me} {\frac{1}{2}\int_{{\Gamma _e}} {{q_e}{u_e}{\rm{d}}\Gamma - \int_{{\Gamma _{eu}}} {{q_e}{{\bar u}_e}{\rm{d}}\Gamma } } } + \\ &\quad\displaystyle\int_{{\Gamma _{eq}}} {\left( {{{\bar q}_e} - {q_e}} \right){{\tilde u}_e}{\rm{d}}\Gamma - \int_{{\Gamma _{eI}}} {{q_e}{{\tilde u}_e}{\rm{d}}\Gamma } } =\\ &\quad\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{{\Gamma _e}} {{q_e}{u_e}d\Gamma + \displaystyle\int_{{\Gamma _{eq}}} {{{\bar q}_e}{{\tilde u}_e}{\rm{d}}\Gamma - \int_{{\Gamma _e}} {q{{\tilde u}_e}{\rm{d}}\Gamma } } }\end{split}$

(20)

将式（5）、式（11）和式（14）代入式（20），可得

${\prod\nolimits_{me}} = \dfrac{1}{2}{{{{c}}}}_\varepsilon ^{\rm{T}} {{{{{H}}}}_\varepsilon }{{{{{c}}}}_\varepsilon } + {{{{d}}}}_\varepsilon ^{\rm{T}} {{{{{P}}}}_\varepsilon } - {{{{c}}}}_\varepsilon ^{\rm{T}} {{{{{G}}}}_\varepsilon }{{{{{d}}}}_\varepsilon }$

(21)

其中

$\left\{ \begin{array}{l} {{{H}}_e} = \displaystyle\int_{{\Gamma _e}} {{{Q}}_e^{\rm{T}}{{{N}}_e}{\rm{d}}\Gamma } \\ {{{G}}_e} = \displaystyle\int_{{\Gamma _e}} {{{Q}}_e^{\rm{T}}{{\tilde {{N}}}_e}{\rm{d}}\Gamma } \\ {{{P}}_e} = \displaystyle\int_{eq} {\tilde {{N}}_e^{\rm{T}}{{\bar q}_e}{\rm{d}}\Gamma } \end{array} \right.$

(22)

对式（21）应用驻值定理，可得

$\!\!\!\!\!\!\!\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\partial {\displaystyle\prod\nolimits_{me}}}}{{\partial {{{{c}}}}_\varepsilon ^{\rm{T}} }} = - {{{{{H}}}}_\varepsilon }{{{{{c}}}}_\varepsilon } + {{{{{G}}}}_\varepsilon }{{{{{d}}}}_\varepsilon } = 0 \Rightarrow \\ \quad\quad\quad\quad\;\;{{{{{c}}}}_\varepsilon } = {{{{H}}}}_\varepsilon ^{ - 1}{{{{{G}}}}_\varepsilon }{{{{{d}}}}_\varepsilon }\\ \dfrac{{\partial {\displaystyle\prod\nolimits_{me}}}}{{\partial {{{{d}}}}_\varepsilon ^{\rm{T}} }} = {{{{G}}}}_\varepsilon ^{\rm{T}} {{{{{c}}}}_\varepsilon } - {{{{{P}}}}_\varepsilon } = 0 \Rightarrow {{{{{K}}}}_\varepsilon }{{{{{d}}}}_\varepsilon } = {{{{{P}}}}_\varepsilon }\end{array} \right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(23)

式中： ${{{{{K}}}}_\varepsilon } = {{{{G}}}}_\varepsilon ^{\rm{T}} {{{{H}}}}_\varepsilon ^{ - 1}{{{{{G}}}}_\varepsilon }$ 为单元刚度矩阵； ${{{{{P}}}}_\varepsilon }$ 为等效的节点矢量.

3.2 刚体运动的恢复

为保证矩阵满秩，在计算单元内部场变量时，需要恢复舍弃的刚体运动项. 为获得单元内任意点的真实温度，根据现有研究^{[1, 18-19]}提出的方法，可以很容易地恢复单元内温度场中舍弃的刚体运动项. 因此，温度的最终表达式为

${{{{{u}}}}_\varepsilon } = {c_0} + {{{{{N}}}}_\varepsilon }{{{{{c}}}}_{{e}}}$

(24)

式中： ${c_0}$ 为刚体运动参数，该参数可由单元所有节点处的 ${{{u}}_e}$ 和 ${\tilde u_{ei}}$ 的最小二乘匹配确定，可写成

$\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {{c_0} + {{{{{N}}}}_\varepsilon }{{{{{c}}}}_\varepsilon } - {{\tilde u}_{\varepsilon i}}} \right)}^2}} \Bigg| {_{{\rm{node}}\,\;i}} = \min$

(25)

进一步地，刚体运动参数 ${c_0}$ 可表示为

${c_0} = \dfrac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\left( {{{\tilde u}_{\varepsilon i}} - {{{{{N}}}}_\varepsilon }{{{{{c}}}}_\varepsilon }} \right)}$

(26)

式中： $m$ 为单元节点数.

4. 数值算例

为定量理解计算精度，对任意变量f引入相对误差( $\varepsilon$ )，可得

$\varepsilon \left( f \right) = \left| {\dfrac{{{f_{{\rm{HFS - FEM}}}} - {f_{{\rm{reference}}}}}}{{{f_{{\rm{reference}}}}}}} \right| \times 100{\text{%}}$

(27)

式中： ${f_{{\rm{HFS - FEM}}}}$ 和 ${f_{{\rm{reference}}}}$ 分别为杂交基本解有限元解和参考解.

为方便表达，算例中所有参数都采用无量纲（没有单位的物理量）的形式表示.

4.1 方形区域内的热传导

在第1个算例中，考虑边长为0.1的正方形区域，其中材料的导热系数为 ${k_{11}} = 1$ 和 ${k_{22}} = 2$ . 对正方形区域左右边界分别施加温度 $u = 0$ 和 $u = 10$ ；上部边界施加热流 $q = 10$ ，下部边界假设为绝热；将整个模型划分为16个四节点四边形单元进行求解计算，如图3所示.

图 3 正方形区域、边界条件和有限元网格

Figure 3. Square domain, boundary conditions and finite element mesh

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为验证杂交基本解有限元法对网格畸变的不敏感性，定义5种网格变形方案，畸变参数 $\gamma$ ( $=e/l$ )分别为0.1、0.3、0.5、0.7和0.9，与规则网格（ $\gamma =0$ ，不变形）的计算结果对比如图4所示. 温度u和热流分量 ${q_x}$ 的相对误差如图5所示. 从图4中可以看出，即使对于γ = 0.9的极度扭曲网格， $\varepsilon \left( u \right)$ 的最大值仍低于0.6%，且 $\varepsilon \left( {{q_x}} \right)$ 低于3%，这在工程实践中是可以接受的. 不同畸变程度下相同点的温度结果见表1.

图 4 网格畸变方案

Figure 4. Mesh distortion schemes

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图 5 温度u和热流分量

${{{q}}_{{x}}}$ 的相对误差

Figure 5. Relative errors of temperature

${{u}}$ and heat flux component

${{{q}}_{{x}}}$

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综上表明，该方法具有对网格畸变不敏感的优点. 将利用有限元软件ABAQUS在划分841个单元网格时的计算结果作为参考解，杂交基本解有限元法在16个单元网格下的计算结果与之对比，两者能够较好地吻合，如图6所示.

图 6 方形区域温度云图

Figure 6. Cloud maps of temperature in square domain

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4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导

在此算例中，研究包含圆孔的三角陀螺域的热传导，如图7所示. 模型中，圆孔半径0.1，小弧半径0.1，大弧半径0.4. 外边界上给定温度为u = 20，内边界上给定温度为u = 0. 考虑两种网格划分，分别包含147和1 960个四节点四边形单元. 材料的导热系数为 ${{{k}}_{11}} = 1$ 和 ${{{k}}_{22}}=3$ . 三角陀螺域的温度云图如图8所示. 在粗网格下（含147个单元），杂交基本解有限元计算结果与ABAQUS计算结果相差不大. 而与1 960个单元下的ABAQUS计算结果相比，该方法可以在不牺牲精度的前提下，用粗网格（147个单元）计算出几乎相同的结果，这表明了该方法的有效性.

表 1 不同网格畸变下选定5个点的温度结果

Table 1. Results of temperatures at selected five points under different mesh distortions

坐标	$\gamma$ =0	$\gamma$ =0.1	$\gamma$ =0.3	$\gamma$ =0.5	$\gamma$ =0.7	$\gamma$ =0.9
(0.05,0.025)	5.0778	5.0771	5.0788	5.0809	5.0801	5.0596
(0.025,0.025)	2.5386	2.5478	2.5508	2.5525	2.5523	2.5487
(0.035,0.075)	3.6361	3.6393	3.6332	3.6439	3.6471	3.6268
(0.075,0.075)	7.6275	7.6205	7.6280	7.6216	7.6275	7.6356
(0.015,0.045)	1.5415	1.5408	1.5401	1.5430	1.5472	1.5509

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图 7 三角陀螺域，边界条件及有限元网格

Figure 7. Trigonometric gyroscopic domain, boundary conditions and finite element mesh

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图 8 三角陀螺域温度云图

Figure 8. Cloud maps of temperature in the trigonometric gyroscopic domain

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热流分量 ${{{q}}_x}$ 和 ${{{q}}_y}$ 云图分别如图9和图10所示. 结果表明，用147个单元的杂交基本解有限元计算结果与用1 960个单元的ABAQUS解更接近. 对比表明，在相同条件下杂交基本解有限元法表现出更好的性能.

图 9 三角陀螺域热流分量q_x云图

Figure 9. Cloud maps of heat flux component

${{{q}}_x}$ in the trigonometric gyroscopic domain

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图 10 三角陀螺域热流分量q_y云图

Figure 10. Cloud maps of heat flux component

${{{q}}_y}$ in trigonometric gyroscopic domain

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5. 结　语

本文利用基于杂交基本解有限元法研究正交各向异性介质中的热传导问题. 该方法采用基本解的线性组合来近似单元域内的温度场，并引入定义在单元边界上的网线场来保证单元间的连续性. 借鉴文献^[10-12]的工作，构建正交各向异性热传导问题的基本解，通过修正变分泛函，将两个假定的温度场关联起来，并利用高斯散度定理和驻值定理，从而导得单元刚度方程. 该方法在处理一些工程问题和物理问题时，由于其高效灵活的特点受到广泛关注和应用. 数值算例表明，该方法具有计算精度高，对网格畸变不敏感且收敛速度快的优势. 虽然该方法解决了稳态正交各向异性热传导问题，但是仍然可以方便地推广至瞬态情形.

图 1 两个假定温度场及其源点

Figure 1. Two assumed temperature fields with source points

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图 2 两节点单元边上的形函数

Figure 2. Shape functions on each two-node side of an element

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图 3 正方形区域、边界条件和有限元网格

Figure 3. Square domain, boundary conditions and finite element mesh

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图 4 网格畸变方案

Figure 4. Mesh distortion schemes

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图 5 温度u和热流分量 ${{{q}}_{{x}}}$ 的相对误差

Figure 5. Relative errors of temperature ${{u}}$ and heat flux component ${{{q}}_{{x}}}$

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图 6 方形区域温度云图

Figure 6. Cloud maps of temperature in square domain

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图 7 三角陀螺域，边界条件及有限元网格

Figure 7. Trigonometric gyroscopic domain, boundary conditions and finite element mesh

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图 8 三角陀螺域温度云图

Figure 8. Cloud maps of temperature in the trigonometric gyroscopic domain

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图 9 三角陀螺域热流分量q_x云图

Figure 9. Cloud maps of heat flux component ${{{q}}_x}$ in the trigonometric gyroscopic domain

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图 10 三角陀螺域热流分量q_y云图

Figure 10. Cloud maps of heat flux component ${{{q}}_y}$ in trigonometric gyroscopic domain

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表 1 不同网格畸变下选定5个点的温度结果

Table 1. Results of temperatures at selected five points under different mesh distortions

坐标	$\gamma$ =0	$\gamma$ =0.1	$\gamma$ =0.3	$\gamma$ =0.5	$\gamma$ =0.7	$\gamma$ =0.9
(0.05,0.025)	5.0778	5.0771	5.0788	5.0809	5.0801	5.0596
(0.025,0.025)	2.5386	2.5478	2.5508	2.5525	2.5523	2.5487
(0.035,0.075)	3.6361	3.6393	3.6332	3.6439	3.6471	3.6268
(0.075,0.075)	7.6275	7.6205	7.6280	7.6216	7.6275	7.6356
(0.015,0.045)	1.5415	1.5408	1.5401	1.5430	1.5472	1.5509

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参考文献(28)

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[26]	KOMPIŠ V, BÚRY J. Hybrid-Trefffz finite element formulations based on the fundamental solution[C] // Proceedings of IUTAM Symposium on Discretization Methods in Structural Mechanics, Solid Mechanics and its Applications. Dordrecht: Springer, 1999: 181-187.
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施引文献

期刊类型引用(1)
1. 周保良，李志远，黄丹. 基于近场动力学微分算子的含裂纹正交各向异性板热传导分析方法. 固体力学学报. 2022(06): 737-749 . 百度学术
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1. 问题描述及基本方程
2. 假定温度场
2.1 非协调单元内部温度场
2.2 辅助协调网线温度场
3. 杂交基本解有限元列式
3.1 修正的变分泛函
3.2 刚体运动的恢复
4. 数值算例
4.1 方形区域内的热传导
4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导
5. 结　语

1. 问题描述及基本方程
2. 假定温度场
2.1 非协调单元内部温度场
2.2 辅助协调网线温度场
3. 杂交基本解有限元列式
3.1 修正的变分泛函
3.2 刚体运动的恢复
4. 数值算例
4.1 方形区域内的热传导
4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导
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基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法

作者简介:
仇文凯（1994−），男，在读硕士，研究方向为杂交有限元法. E-mail：1428927660@qq.com

通讯作者:
王克用（1975−），男，副教授，博士，研究方向为Trefftz有限元法和多孔介质传热. E-mail：keyong_wang@126.com

计量

Hybrid Fundamental-Solution-Based FEM for Heat Conduction Problems in Orthotropic Materials

1. 问题描述及基本方程

2. 假定温度场

2.1 非协调单元内部温度场

2.2 辅助协调网线温度场

3. 杂交基本解有限元列式

3.1 修正的变分泛函

3.2 刚体运动的恢复

4. 数值算例

4.1 方形区域内的热传导

4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导

5. 结　语

期刊类型引用(1)

其他类型引用(2)

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目录

1. 问题描述及基本方程

2. 假定温度场

2.1 非协调单元内部温度场

2.2 辅助协调网线温度场

3. 杂交基本解有限元列式

3.1 修正的变分泛函

3.2 刚体运动的恢复

4. 数值算例

4.1 方形区域内的热传导

4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导

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基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法

作者简介: 仇文凯（1994−），男，在读硕士，研究方向为杂交有限元法. E-mail：1428927660@qq.com

通讯作者: 王克用（1975−），男，副教授，博士，研究方向为Trefftz有限元法和多孔介质传热. E-mail：keyong_wang@126.com

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出版历程

Hybrid Fundamental-Solution-Based FEM for Heat Conduction Problems in Orthotropic Materials

1. 问题描述及基本方程

2. 假定温度场

2.1 非协调单元内部温度场

2.2 辅助协调网线温度场

3. 杂交基本解有限元列式

3.1 修正的变分泛函

3.2 刚体运动的恢复

4. 数值算例

4.1 方形区域内的热传导

4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导

5. 结 语

期刊类型引用(1)

其他类型引用(2)

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1. 问题描述及基本方程

2. 假定温度场

2.1 非协调单元内部温度场

2.2 辅助协调网线温度场

3. 杂交基本解有限元列式

3.1 修正的变分泛函

3.2 刚体运动的恢复

4. 数值算例

4.1 方形区域内的热传导

4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导

5. 结 语

作者简介:
仇文凯（1994−），男，在读硕士，研究方向为杂交有限元法. E-mail：1428927660@qq.com

通讯作者:
王克用（1975−），男，副教授，博士，研究方向为Trefftz有限元法和多孔介质传热. E-mail：keyong_wang@126.com

5. 结　语

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