基于广义双参数最弱链统计模型分析纤维断裂强度与尺寸的相关性

竺宇洋; 翟建广; 高春; 卢惠亲

基于广义双参数最弱链统计模型分析纤维断裂强度与尺寸的相关性

上海工程技术大学材料工程学院，上海 201620

详细信息

作者简介:
竺宇洋（1995−），男，在读硕士，研究方向为纤维复合材料力学性能. E-mail：752479748@qq.com

通讯作者:
翟建广（1976−），男，讲师，博士，研究方向为功能性复合材料. E-mail：zhai_jianguang@sues.edu.cn

中图分类号: TB 332
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出版历程
- 收稿日期: 2020-09-25
- 刊出日期: 2021-03-30

Analysis of Correlation Between Fiber Breaking Strength and Size Based on Generalized Two-Parameter Weakest Chain Statistical Model

School of Materials Engineering, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China

摘要

摘要: 为探究纤维断裂强度与尺寸之间的相关性，通过一种改进的广义双参数最弱链统计模型分别对不同标距尺寸下聚丙烯腈基碳纤维和黄麻纤维的断裂强度数据进行统一处理. 通过引入指数参量β，表征缺陷实际空间分布与理想均匀空间分布条件的偏离程度，将纤维断裂强度和尺寸作为统计参量，得到的纤维失效函数综合反映纤维断裂强度和尺寸对失效概率的影响，较好地描述了纤维断裂强度和尺寸之间的相关性.
- 尺寸效应 /
- 纤维 /
- 空间缺陷分布 /
- 统计模型
Abstract: In order to explore the correlation between fiber breaking strength and size, an improved generalized two-parameter weakest chain statistical model was used to uniformly process the breaking strength data of polyacrylonitrile-based (PAN-based) carbon fiber and jute fiber under different gauge lengths. An exponential parameter β was introduced to characterize the degree of deviation between the actual spatial distribution of defects and the ideal uniform spatial distribution conditions. By taking fiber breaking strength and size as statistical parameters, the obtained fiber failure function can collectively reflect the influence of fiber breaking strength and size on the probability of fiber failure, and better describe the correlation between fiber breaking strength and size.
- size effect /
- fiber /
- spatial defect distribution /
- statistical model

HTML全文

碳纤维和黄麻纤维作为较常见的合成纤维和天然纤维，通常被用作高性能复合材料中的增强材料，而高性能复合材料的机械性能与结构性能也在很大程度上取决于增强纤维的强度，因此如何准确表征纤维强度与尺寸之间的相关性具有较大的意义^[1-4].

纤维作为一种脆性材料，沿着纤维长度方向，纤维的表面与内部存在着各种随机分布的缺陷，这使得纤维的强度表现出较大的分散性和显著的尺寸效应，一般通过双参数威布尔（Weibull）统计模型表征单根纤维的强度分布^[5-8]. 但由于不同尺寸条件下得到的Weibull参数值并不相同，这使得不能对试验尺寸范围外的纤维强度进行描述，通常需要将Weibull模型进行修正. 例如，为表征直径变化可能会改变纤维内部缺陷的分布情况，Watson等^[9]基于曲线拟合，通过引入指数参数 $\alpha$ 构建幂律模型，探究在不同标距尺寸下碳纤维强度的统计分布. 由于纤维内部存在不同类型的缺陷群体^[10]，Watanabe等^[11]在双参数Weibull统计模型的基础上构建双峰Weibull统计模型，探究聚丙烯腈基碳纤维的强度分布.

实际上，纤维缺陷的随机分布可以通过缺陷的大小、形状、取向和空间分布这4个方面来进行表征. 其中，缺陷的大小和形状可以通过格里菲斯理论中的临界断裂强度来加以考虑^[12]，缺陷的取向可以通过多轴应力断裂准则来加以考虑^[13]，但有关纤维缺陷空间分布对纤维强度影响的研究依然较少. 目前，缺陷的空间分布被描述为均匀分布^[14]，但实际上缺陷的空间分布并不一定是均匀的，基于此，Lei^[15]通过引入β系数（β描述缺陷分布与理想均匀分布的偏离程度）建立广义双参数最弱链统计模型，并通过对木材、混凝土、陶瓷等准脆性材料的强度数据分析，验证该模型的合理性. 那么，同样对于纤维材料，或可以通过该改进模型，修正缺陷空间分布的影响，探究纤维断裂强度与尺寸之间的相关性.

本文以聚丙烯腈基碳纤维和黄麻纤维的拉伸断裂试验为例，通过广义双参数最弱链统计模型，探究纤维断裂强度与尺寸之间的相关性.

1. 纤维断裂强度的双参数Weibull分布模型

纤维的失效概率服从双参数Weibull统计分布，公式为

$P=1-{\rm{exp}}\left[-{\left(\frac{V}{{V}_{0}}\right)\left(\frac{{\sigma }_{{\rm{f}}}}{{\sigma }_{0}}\right)}^{m}\right]$

(1)

式中： $P$ 为纤维在断裂强度 $\leqslant {\sigma }_{{\rm{f}}}$ 下的失效概率； ${V}_{0}$ 为参考体积； $V$ 为试样体积； ${\sigma }_{0}$ 为特征强度(尺寸参数)；m为Weibull模量(形状参数)；σ_f 为进行纤维拉伸断裂失效概率估计时，纤维样本的断裂强度值.

$P$ 通常通过近似的统计估计方法来进行计算，将同一标距条件下试样的断裂强度数据由小到大排列，公式为^[16]

${P}_{\left({\sigma }_{{\rm{f}}}\right)}=\frac{i-0.3}{n+0.4}$

(2)

式中： $i$ 为断裂试样的编号； $n$ 为某一标距尺寸下所测得的试样总数目， $i=1,\;2,\;\cdots,\;n$ .

将式（1）进行恒等变形，参考体积 ${V}_{0}$ 取单位体积（1 mm³），则式（1）可转换为

$\frac{-\mathrm{l}\mathrm{n}(1-P)}{V}={\left(\frac{{\sigma }_{{\rm{f}}}}{{\sigma }_{0}}\right)}^{m}={\left(\frac{1}{{\sigma }_{0}}\right)}^{m} {\text{•}} {{\sigma }_{{\rm{f}}}}^{m}$

(3)

由式（3）可知，纤维断裂强度和尺寸之间的相关性由复合参数 $\dfrac{-\mathrm{l}\mathrm{n}(1-P)}{V}$ 和断裂强度 ${\sigma }_{{\rm{f}}}$ 通过幂函数 $y=a{x}^{b}$ 联系起来. 其中，Weibull模量 $m=b$ ，特征强度 ${\sigma }_{0}={{\rm{e}}}^{-\frac{{\rm{ln}}a}{m}}$ . 由于不同尺寸条件下得到的Weibull参数并不相同，因此所得的纤维失效概率分布函数只适用于该标距尺寸，并不能对试验尺寸范围外的纤维断裂强度进行描述.

2. 纤维断裂强度的广义双参数最弱链统计模型

在缺陷空间分布均匀的假设前提下，纤维失效概率的双参数最弱链统计模型公式为

$P=1-{\rm{exp}}\left\{{\int }_{v}^{}{\rm{ln}}\left[1-p\left(\sigma ,{V}_{0}\right)\right] {\text{•}} \frac{\partial N\left(V\right)}{\partial V} {\text{•}} {\rm{d}}V\right\}$

(4)

其中

$p\left(\sigma ,{V}_{0}\right)=1-{\rm{exp}}\left[-{\left(\frac{{\sigma }_{{\rm{f}}}}{{\sigma }_{0}}\right)}^{m}\right]$

(5)

式中： $N\left(V\right)$ 为相互独立的微缺陷的数量； $\dfrac{\partial N\left(V\right)}{\partial V} {\text{•}} {\rm{d}} V$ 为微分体积单元中微缺陷的数量； $p\left(\sigma ,{V}_{0}\right)$ 为在应力 $\sigma$ 作用下参考体积单元 ${V}_{0}$ 中由单个缺陷而产生的断裂概率. 在均匀应力作用下，将式（5）带入到式（4）可以得到式（1），即双参数Weibull模型从属于双参数最弱链统计模型.

式（4）中，缺陷数 $N\left(V\right)$ 可以通过任意的特征分布函数来表达，而幂律函数为相对较为简单的分布函数，假设缺陷数 $N\left(V\right)$ 由幂律函数描述，公式为

$N=N\left(V\right)=k{V}^{\beta }={\left(\frac{V}{{V}_{0}}\right)}^{\beta }$

(6)

式中： $k$ 、 $\beta$ 均为引入常数值， $k=\dfrac{1}{{V}_{0}^{\beta }}$ ， $\beta > 0$ .

微分体积单元 ${\rm{d}} V$ 内微缺陷的数量 ${\rm{d}} N$ 为

$\begin{split} & {\rm{d}} N=\frac{\partial N\left(V\right)}{\partial V} {\text{•}} {\rm{d}} V=\\ &\qquad k\beta {V}^{\beta -1} {\text{•}} {\rm{d}} V={\beta \left(\frac{V}{{V}_{0}}\right)}^{\beta -1}\left(\frac{{\rm{d}} V}{{V}_{0}}\right) \end{split}$

(7)

将式（7）带入式（4）中，可得基于缺陷幂律空间分布的纤维失效概率的广义双参数最弱链统计模型，公式为

$P=1-{\rm{exp}}\left\{{\beta \left(\frac{V}{{V}_{0}}\right)}^{\beta -1}{\int }_{v}^{}{\rm{ln}}\left[1-p\left(\sigma ,{V}_{0}\right)\right] {\text{•}} \frac{{\rm{d}} V}{{V}_{0}}\right\}$

(8)

当 $\beta =1$ 时，即缺陷的空间分布为均匀分布，式（8）可简化为式（4）. 通过第一积分中值定理，式（8）可改写为

$\begin{split} & \frac{1}{{\mathrm{\beta }V}^{\beta }} {\text{•}} \mathrm{ln}\left[\frac{1}{\left(1-P\right)}\right]=\frac{1}{{{V}_{0}}^{\beta }} {\text{•}} {\rm{ln}}\left(\frac{1}{1-p\left(\sigma ,{V}_{0}\right)}\right)=\\ &\quad \frac{1}{{V}_{0}^{\beta }} {\text{•}} {\left(\frac{{\sigma }_{{\rm{f}}}}{{\sigma }_{0}}\right)}^{m}=\frac{1}{{V}_{0}^{\beta }} {\text{•}} {\left(\frac{1}{{\sigma }_{0}}\right)}^{m} {\text{•}} {{\sigma }_{{\rm{f}}}}^{m} \end{split}$

(9)

等效公式为

$P=1-{\rm{exp}}\left[-\beta {\left(\frac{V}{{V}_{0}}\right)}^{\beta }{\left(\frac{{\sigma }_{{\rm{f}}}}{{\sigma }_{0}}\right)}^{m}\right]$

(10)

对比式（9）和式（3）可以发现，当引入指数参数β后，纤维断裂强度和尺寸之间的相关性同样可以由复合参数 $\dfrac{1}{{\mathrm{\beta }V}^{\beta }} {\text{•}} \mathrm{ln}\left[\dfrac{1}{\left(1-P\right)}\right]$ 和纤维断裂强度 ${\sigma }_{{\rm{f}}}$ 联系起来，关系函数同样为 $y=a{x}^{b}$ . 其中， $y=\dfrac{1}{{\mathrm{\beta }V}^{\beta }} {\text{•}} \mathrm{ln}\left[\dfrac{1}{\left(1-P\right)}\right]$ ， $a=\dfrac{1}{{V_0^\beta }} {\text{•}} {\left( {\dfrac{1}{{{\sigma _0}}}} \right)^m}$ ， b=m. 采用β描述缺陷分布与理想均匀分布的偏离程度：当 $0<\beta <1$ 时，缺陷的密度小于缺陷均匀空间分布时的密度；当 $\beta =1$ 时，缺陷的密度等于缺陷均匀空间分布时的密度，即缺陷的空间分布为理想的均匀分布，式（9）简化为式（3），式（10）简化为式（1）；当 $\beta >1$ 时，缺陷的密度大于缺陷均匀空间分布时的密度， $\beta$ 值距离1越远，表明与理想均匀分布的偏离程度越大.

3. 两种纤维断裂强度数据验证

Pickering等^[5]报道了标距长度分别为1、2、5、20、200和500 mm的聚丙烯腈基碳纤维断裂强度变化的双参数Weibull统计分析. 黄麻纤维的断裂强度数据取自于Xia等^[6]相关研究，标距长度分为5、10、15和20 mm. 对于单向纤维的拉伸试验，试样体积V的变化可通过标距长度l来表征. 基于缺陷空间分布均匀假设，由式（3）可得，不同标距长度下纤维失效概率和尺寸效应的复合参数 $\dfrac{1}{V} {\text{•}} {\rm{ln}}\left[ {\dfrac{1}{{\left( {1 - P} \right)}}} \right]$ 与断裂强度 ${\sigma }_{{\rm{f}}}$ 的关系如图1所示. 不同标距长度下纤维断裂强度的Weibull参数见表1.

图 1 不同标距长度下双参数Weibull统计分布函数

Figure 1. Two-parameter Weibull statistical distribution function under different gauge lengths

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表 1 不同标距长度下的Weibull参数

Table 1. Weibull parameters under different gauge lengths

纤维类型	标距长度l / mm	Weibull模量m	特征强度 ${\sigma }_{0}$ / MPa
聚丙烯腈基碳纤维	1	5.65	4749
	2	6.06	4577
	5	6.67	4131
	20	7.86	3576
	200	6.29	2557
	500	6.95	2206
黄麻纤维	5	2.18	436
	10	1.41	415
	15	1.27	410
	20	1.19	377

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由表1可见，聚丙烯腈基碳纤维的Weibull模量为5.65~7.86，特征强度 ${\sigma }_{0}$ 从4749降低到2206 MPa；黄麻纤维的Weibull模量m为1.19~2.18，特征强度 ${\sigma }_{0}$ 从436降低到377 MPa. 其中，Weibull模量m用于表征纤维强度的分散性，m值越大分散性越小. 对比聚丙烯腈基碳纤维和黄麻纤维的m值可以发现，聚丙烯腈基碳纤维强度的分散性小于黄麻纤维强度的分散性. 造成这一现象的原因可能是对于合成纤维而言，在生产和制造工程中，沿长度方向纤维中缺陷的空间分布随着制造技术的不断改进，越来越趋向于均匀分布. 特征强度 ${\sigma }_{0}$ 指当断裂强度 ${\sigma }_{{\rm{f}}}={\sigma }_{0}$ 时，纤维的失效概率为63.2%. 无论是聚丙烯腈基碳纤维还是黄麻纤维，其特征强度 ${\sigma }_{0}$ 均随着标距长度的增大而出现明显的降低，这是因为随着纤维长度的增加，缺陷数目增加，从而造成纤维整体强度的降低.

通过图1和表1可知，并不能通过一条曲线将纤维失效概率和尺寸效应的复合参数 $\dfrac{1}{V} {\text{•}} {\rm{ln}}\left[ {\dfrac{1}{{\left( {1 - P} \right)}}} \right]$ 与断裂强度 ${\sigma }_{{\rm{f}}}$ 相关联，这说明纤维缺陷的空间分布并不是均匀分布的.

通过式（10）将强度数据进行重排，当β分别为0.6与0.1时，对聚丙烯腈基碳纤维和黄麻纤维均可以找到一条曲线将复合参数 $\dfrac{1}{{\mathrm{\beta }V}^{\beta }} {\text{•}} \mathrm{ln}\left[\dfrac{1}{\left(1-P\right)}\right]$ 与断裂强度 ${\sigma }_{{\rm{f}}}$ 相关联，如图2所示. 图中纤维失效函数综合地反映了尺寸和纤维断裂强度对失效概率的影响，可更好描述纤维断裂强度和尺寸之间的相关性.

图 2 不同标距长度下广义双参数最弱链统计分布函数

Figure 2. Generalized two-parameter weakest chain statistical distribution function under different gauge lengths

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当β=0.6时，基于广义双参数最弱链统计模型得到聚丙烯腈基碳纤维断裂强度分布幂函数为

$y=1.34\times {10}^{-15}{x}^{4.09}\;\;\left({R}^{2}=0.924\right)$

(11)

等效公式为

$P=1-{\rm{exp}}\left[-0.6{\left(\frac{V}{{V}_{0}}\right)}^{0.6}{\left(\frac{{\sigma }_{{\rm{f}}}}{4\;305.80}\right)}^{4.09}\right]$

(12)

当β=0.1时，基于广义双参数最弱链统计模型得到黄麻纤维断裂强度分布幂函数公式为

$y=7.19\times {10}^{-5}{x}^{1.91}\;\;\left({R}^{2}=0.916\right)$

(13)

等效公式为

$P=1-{\rm{exp}}\left[-0.1{\left(\frac{V}{{V}_{0}}\right)}^{0.1}{\left(\frac{{\sigma }_{{\rm{f}}}}{148.20}\right)}^{1.91}\right]$

(14)

β值均小于1，说明聚丙烯腈基碳纤维和黄麻纤维的缺陷密度均小于缺陷均匀空间分布时的密度. 黄麻纤维β=0.6>0.1，说明两种纤维比较，黄麻纤维缺陷偏离理想均匀分布的程度更大.

4. 结语

1）纤维缺陷的空间分布并不总是均匀分布的，基于双参数Weibull分布模型得到的不同尺寸条件下的Weibull参数并不相同，不能得到纤维统一的断裂分布函数.

2）改进的广义双参数最弱链统计模型具有更好的通用性，通过引入的指数参量β，表征了缺陷实际空间分布与理想化均匀空间分布条件的偏离程度，将尺寸和纤维断裂强度作为统计参量，得到的纤维失效函数综合反映了尺寸和纤维断裂强度对失效概率的影响，更好地描述了纤维断裂强度和尺寸对失效概率的影响.

图 1 不同标距长度下双参数Weibull统计分布函数

Figure 1. Two-parameter Weibull statistical distribution function under different gauge lengths

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图 2 不同标距长度下广义双参数最弱链统计分布函数

Figure 2. Generalized two-parameter weakest chain statistical distribution function under different gauge lengths

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表 1 不同标距长度下的Weibull参数

Table 1. Weibull parameters under different gauge lengths

纤维类型	标距长度l / mm	Weibull模量m	特征强度 ${\sigma }_{0}$ / MPa
聚丙烯腈基碳纤维	1	5.65	4749
	2	6.06	4577
	5	6.67	4131
	20	7.86	3576
	200	6.29	2557
	500	6.95	2206
黄麻纤维	5	2.18	436
	10	1.41	415
	15	1.27	410
	20	1.19	377

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参考文献(16)

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1. 纤维断裂强度的双参数Weibull分布模型
2. 纤维断裂强度的广义双参数最弱链统计模型
3. 两种纤维断裂强度数据验证
4. 结语

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竺宇洋（1995−），男，在读硕士，研究方向为纤维复合材料力学性能. E-mail：752479748@qq.com

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翟建广（1976−），男，讲师，博士，研究方向为功能性复合材料. E-mail：zhai_jianguang@sues.edu.cn

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