<i>L</i>−拓扑空间上的<i>L</i>−超算子

苏淑华; 李琪

doi:10.12299/jsues.21-0276

L−拓扑空间上的L−超算子

doi: 10.12299/jsues.21-0276

苏淑华^1,,
李琪²

1.
上海工程技术大学数理与统计学院, 上海 201620
2.
东华理工大学抚州师范学院, 抚州 344000

基金项目: 国家自然科学基金项目资助（11861006）

详细信息

作者简介:
苏淑华（1975−），女，教授，博士，研究方向为格上拓扑及其应用. E-mail：21190005@sues.edu.cn

中图分类号: O159
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出版历程
- 收稿日期: 2021-12-02
- 刊出日期: 2023-03-31

L−hyperoperators on L−topological spaces

SU Shuhua^1
,,
LI Qi²

1.
School of Mathematics, Physics and Statistics, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China
2.
Fuzhou Teachers’ College, East China University of Technology, Fuzhou 344000, China

摘要

摘要: 基于L−拓扑空间和L−超群胚，定义L−超运算的(强) L−伪连续性，并由此构造L−拓扑L−超群胚. 结果表明，经典的拓扑超群胚是L−拓扑L−超群胚的特例.
- L−超算子 /
- L−超群胚 /
- (强) L−伪连续性 /
- L−拓扑空间
Abstract: Based on L−topological spaces and L−hypergroupoids, the (strong) L−pseudocontinuity of L−hyperoperator was defined, and the L−topological L−hypergroupoids were constructed. The result shows that the classical topological hyergroupoids are special cases of L−topological L−hypergroupoids.
- L−hyperoperator /
- L−hypergroupoid /
- (strong) L−pseudocontinuity /
- L−topological space

HTML全文

自Rosenfeld^[1]在群论中引入模糊集以来，许多研究者致力于将抽象代数推广到模糊集^[2]的框架上. 模糊超结构是该领域中一个有趣的研究课题. 模糊超算子是赋予非空集合S的每一对元素一个模糊子集的映射. 该超算子由Corsini等^[3]引入，由Kehagias等^[4-5]发展. 随后，Sen等^[6]引入模糊超半群，在此基础上，Chowdhury等^[7-9]引入并研究了模糊超环、模糊转置超群和模糊超模.

由于拓扑结构和代数结构在模糊集中处于关键地位，许多数学学者研究了模糊情形下两种结构之间的联系^[10-17]. 通过Chang^[10]对模糊拓扑空间的定义，Foster^[11]定义了模糊拓扑群. 为确定一个经典拓扑群是一个模糊拓扑群的特例，Ma等^[12]通过用模糊点替换分明点重新定义模糊拓扑群. 特别是受到Ameri^[13]和HošKová−Mayerová^[15]的启发，Cristea等^[14]引入模糊拓扑超群胚及其上的模糊(伪)连续超算子，并关注模糊拓扑空间上分明超算子的性质，而不是模糊超算子. 因此，本研究试图研究L−拓扑空间上的L−超算子，希望能够延续这个问题.

本研究中对术语“模糊”作如下说明：在模糊集理论中，“模糊”通常表示该理论是建立在单位区间[0,1]上；本研究是以完全分配格L为真值结构，因此用“L”代替“模糊”. 例如，用“L−超算子”和“L−拓扑空间”分别表示“模糊超算子”和“模糊拓扑空间”.

1. 预备知识

首先介绍本研究需要的一些基本概念. 完全分配格$(L, \vee , \wedge ,0,1)$是满足下列等式的完备格，定义为

${ \wedge _{j \in J}}{ \vee _{k \in K(j)}}{a_{j,k}} = { \vee _{f \in M}}{ \wedge _{j \in J}}{a_{j,f(j)}}$

$\forall \{ {a_{j,k}}:j \in J,k \in K(j)\} \subseteq L$其中$M$为定义在$J$上，值$f(j) \in K(j)$的选择函数集. $\forall a,b \in L,a \to b = \vee \{ c \in L|a \wedge c \leqslant b\} $.

设$S$为非空集，映射$A:S \to L$为$S$的$L$−子集，${L^S}$为由$S$的全体$L$−子集构成的集合. 显然，$ \forall A\in {L}^{S},A\subseteq {\underline 1}且A\supseteq {\underline 0} $，其中

${\underline 0} ,{\underline 1} :S \to L,{\underline 0} (x) = 0,{\underline 1} (x) = 1,\forall x \in S .$

而且，称$A \in {L^S}$为非空的，如果${ \vee _{x \in S}}A(x) = 1$.${L^{S * }}$为由$S$的全体非空$L$−子集构成的集合. $\forall A,B \in {L^S}$,$A$在$B$中的包含度定义为${\rm{sub}}(A,B) = { \wedge _{x \in S}}A(x) \to B(x)$.

设$S$为非空集，称$ \circ :S \times S \to {L^{S * }}$为$L$−超算子，称$(S, \circ )$为$L$−超群胚. 上述定义中，如果$A$和$B$是$S$的两个非空$L$−子集，$x \in S$，定义

$(A \circ B)(x) = { \vee _{y,z \in S}}A(y) \wedge B(z) \wedge (y \circ z)(x)$

$x \circ A = {\chi _{\{ x\} }} \circ A$和$A \circ x = A \circ {\chi _{\{ x\} }}$. 称$L$−超群胚$(S, \circ )$为$L$−超半群，若$\forall x, y, z \in S, x \circ(y \circ z)=(x \circ y) \circ z $. 称$L$−超群胚$(S, \circ )$为$L$−拟超群，若$\forall x \in S,x \circ {\underline 1} = {\underline 1} = {\underline 1} \circ x$. 若$L$−超群胚$(S, \circ )$既是$L$−超半群也是$L$−拟超群，则称其为$L$−超群.

定义1^[10] 称$\mathcal{T} \subseteq {L^S}$是$S$上的$L$−拓扑，如果满足下列条件：

$({\rm{i}})\;\; \underline{0} \in \mathcal{T}, \underline{1} \in \mathcal{T};$

$({\rm{ii}}) \;\;{A_1},{A_2} \in \mathcal{T} \Rightarrow {A_1} \wedge {A_2} \in \mathcal{T};$

$({\rm{iii}})\;\; \forall i \in I,{A_i} \in \mathcal{T} \Rightarrow { \cup _{i \in I}}{A_i} \in \mathcal{T}，$

此时，称$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间.

定义2^[10] 设$(S,\mathcal{T})$, $(Y,\mathcal{U})$为$L$−拓扑空间，称映射$f:S \to Y$为$L$−连续, 如果$\forall L$−子集$A \in \mathcal{U},{f^{ - 1}}(A) \in \mathcal{T} $，其中${f^{ - 1}}(A)(x) = A(f(x)),\forall x \in S.$

定理1^[10] $L$−连续映射的复合仍连续.

定义3^[17] $L$−拓扑空间$(S,\mathcal{T})$的基是$\mathcal{T}$的子集$\mathcal{B}$, 且$\mathcal{T}$的每个元素$A$都是$\mathcal{B}$中某些元素的并集.

定理2^[17] 如果由$S$的一些$L$−子集构成的集族$\mathcal{B}$满足下列条件，则$\mathcal{B}$为$S$的$L$−拓扑$\mathcal{T}$的基：

$(B1)\forall {A_1},{A_2} \in \mathcal{B},{A_1} \cap {A_2} \in \mathcal{B};$

$(B2){ \cup _{A \in \mathcal{B}}}A = {\underline 1} .$

此外, 称$\mathcal{B}$为$\mathcal{T}$的$L$−拓扑空间$(S,\mathcal{T})$的子基. 如果由所有有限交${A_1} \cap {A_2} \cap \cdots \cap {A_k}$ $({A_i} \in \mathcal{B},i = 1,2,\cdots,k)$构成的集族是$\mathcal{T}$的基，由$S$的$L$−子集构成的任意集族$\mathcal{B}$ (其并集为${\underline 1} $)是$S$上唯一$L$−拓扑的子基.

对于两个$L$−拓扑空间$({S_1},{\mathcal{T}_1}),({S_2},{\mathcal{T}_2})$，它们的积空间$({S_1} \times {S_2},{\mathcal{T}_1} \times {\mathcal{T}_2})$上的$L$−拓扑${\mathcal{T}_1} \times {\mathcal{T}_2}$是由如下结论中的基确定的，而且该结论可以推广到$L$−拓扑空间族.

定理3^[18] 设$({S_1},{\mathcal{T}_1}),({S_2},{\mathcal{T}_2})$是$L$−拓扑空间，则积空间$S = {S_1} \times {S_2}$上的积$L$−拓扑有一个由形如${A_1} \times {A_2}$的$L$−子集构成的集合作为子基，其中${A_1} \in {\mathcal{T}_1}, {A_2} \in {\mathcal{T}_2}$，且$({A_1} \times {A_2})({x_1},{x_2}) = {A_1}({x_1}) \wedge {A_2}({x_2}) $.

定理4^[19]设$({S_1},{\mathcal{T}_1}),({S_2},{\mathcal{T}_2})$是$L$−拓扑空间，$S = {S_1} \times {S_2},$$\mathcal{T} = {\mathcal{T}_1} \times {\mathcal{T}_2}$，则映射$\alpha :(S,\mathcal{T}) \;\times\; (S,\mathcal{T}) \to ({S_1} \;\times\; {S_1}, {\mathcal{T}_1} \;\times\; {\mathcal{T}_1}) \;\times\; ({S_2} \;\times\; {S_2},{\mathcal{T}_2} \;\times\; {\mathcal{T}_2})$，$\alpha (({x_1},{x_2}), ({y_1},{y_2})) = (({x_1},{y_1}),({x_2},{y_2}))))$是$L$−连续.

定理5^[11] 设${\{ ({S_i},{\mathcal{T}_i})\} _{i \in I}},{\{ ({Y_i},{\mathcal{U}_i})\} _{i \in I}}$为两个$L$−拓扑空间族，$(S,\mathcal{T}),$$(Y,\mathcal{U})$为它们各自的积$L$−拓扑空间. 若$\forall i \in I,{f_i}:({S_i},{\mathcal{T}_i}) \to ({Y_i},{\mathcal{U}_i})$是$L$−连续映射，则从$(S,\mathcal{T})$到$(Y,\mathcal{U})$的乘积映射$f = \prod {{f_i}} :({x_i}) \to (f({x_i}))$是$L$−连续的.

2. L−拓扑L−超群胚

受拓扑超群胚^[20]定义的启发，引入以下概念.

定义4 设$(S, \circ )$为$L$−超群胚，$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，则称$L$−超算子$ \circ $为

(i) $L$−伪连续或简称为lp−连续，如果$\forall O \in \mathcal{T}, S \times S$的$L$−子集${O_ * }$为积$L$−拓扑空间的$L$−开子集，其中${O_ * }(x,y) = {\rm{sub}}(x \circ y,O),\forall (x,y) \in S \times S；$

(ii) 强$L$−伪连续或简称为slp−连续，如果$\forall O \in \mathcal{T},S \times S$的$L$−子集${O^ * }$为积$L$−拓扑空间的$L$−开子集，其中${O^ * }(x,y) = { \vee _{s \in S}}(x \circ y)(s) \wedge O(s),\forall (x,y) \in S \times S.$

注1 显然，文献[15]中定义的(强)伪连续的超算子是定义4的特例. 具体地说，令$(S,\diamondsuit )$为超群胚，$\tau $为$S$的拓扑，$L = \{ 0,1\} $，则可定义映射$ \circ :S \times S \to {L^{S * }}$为

$\forall x,y \in S,x \circ y = {\chi _{x\diamondsuit y}},\mathcal{T} = \{ {\chi _O}:O \in \tau \}$

易证明$ \circ $是$S$上的$L$−超算子，$\mathcal{T}$是$S$的$L$−拓扑. 此外，当$\diamondsuit $是(强)伪连续时，可以检验$ \circ $是(强) $L$−伪连续的.

因为$L$−超算子$ \circ $是从$S \times S$到${L^{S * }}$的映射，所以可以通过给定$S$和${L^{S * }}$上的$L$−拓扑来讨论$ \circ $的连续性，具体如下.

定义5 设$(S, \circ )$为$L$−超群胚，$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，${\mathcal{T}_ * }$为${L^{S * }}$上的$L$−拓扑. 称$L$−超算子$ \circ $为 $L$−${\mathcal{T}_ * }$连续，如果映射$ \circ :S \times S \to {L^{S * }}$关于$L$−拓扑$\mathcal{T} \times \mathcal{T}$与${\mathcal{T}_ * }$是$L$−连续的.

注2 (i) 类似注1，文献[15]中定义的每个${\tau _ * }$−连续的超算子是$L$−${\mathcal{T}_ * }$连续的特例.

(ii) 令$(S,\diamondsuit )$为超群胚, $L = \{ 0,1\} $，$\mathcal{T},\mathcal{U}$分别为$S$和${\mathcal{P}^ * }(S)$的拓扑. 那么$L^{S *}=\left\{\chi_{A}: A \in \mathcal{P}^{*}(S)\right\}, \hat{\mathcal{U}}= \{\hat{U}: U \in \mathcal{U}\}$是${L^{S * }}$的一个$L$−拓扑，其中$\hat U({\chi _A}) = U(A),$$\forall A \in {\mathcal{P}^ * }(S)$. 而且有

$\begin{split} & \forall \hat U \in \hat {\cal U},\forall (x,y) \in S \times S,{ \circ ^{ - 1}}(\hat U)(x,y) =\\&\quad \hat U(x \circ y) = \hat U({\chi _{x \circ y}}) = U(x\diamondsuit y) = {\diamondsuit ^{ - 1}}(U)(x,y) \end{split}$

从而可得， $\diamondsuit $是文献[14]中定义的$\mathcal{U}$−模糊连续超算子当且仅当$L$−超算子$\circ :(x,y) \in S \times S \mapsto x \circ y = {\chi _{x \circ y}} $是$ L-\hat{\mathcal{U}}-$连续的. 这说明$\mathcal{U}$−模糊连续超算子是定义5的特例.

例1 设$(S, \circ )$为$L$−超群胚, $(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间.

(i) 令${\mathcal{T}_ * } = \{ {\underline 0} ,{\underline 1} \} $为${L^{S * }}$上的离散$L$−拓扑，则$L$−超算子$ \circ $是$L$−${\mathcal{T}_ * }$−连续的. 事实上，$\forall A \in {\mathcal{T}_ * },A = {\underline 0} $或$ A = {\underline 1} $. 当$A = {\underline 1} $时， ${ \circ ^{ - 1}}(A)(x,y) = A(x \circ y) = 1, \forall (x,y) \in S \times S$，从而，$ { \circ ^{ - 1}}(A) = \underline 1\times \underline 1 \in {\cal T} \times {\cal T}.$ 类似可得，若$A = {\underline 0} $，则${ \circ ^{ - 1}}(A) = \underline 0 \times \underline 0 \in {\cal T} \times {\cal T}.$

(ii) 令${\mathcal{T}_ * }$为${L^{S * }}$上的$L$−拓扑.若$ \mathcal{T}=L^{S}$，则$ \mathcal{T} \times \mathcal{T}= L^{S \times S}$. 从而，$ \forall A \in \mathcal{T}_{*}, o^{-1}(A) \in \mathcal{T} \times \mathcal{T}$，由此可得，$ \circ $ 是$L$−${\mathcal{T}_ * }$−连续的.

定义6 设$(S, \circ )$为$L$−超群胚，$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，${\mathcal{T}_ * }$为${L^{S * }}$上的$L$−拓扑. 称$(S, \circ ,\mathcal{T})$为(强)$L$−伪拓扑$L$−超群胚，如果$L$−超算子$ \circ $是(强)$L$−伪连续.

引理1 设$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，则集族$\mathcal{U}= {\text{ \{ }} {S_A} \in {L^{{L^{S * }}}}:A \in \mathcal{T}\} $是${L^{S * }}$上的一个$L$−拓扑${\mathcal{T}_\mathcal{U}}$的基，称该拓扑${\mathcal{T}_\mathcal{U}}$为${L^{S * }}$的一个由$\mathcal{T}$诱导的$L$−上拓扑. 其中，${S_A}$定义为${S_A}(B) = {\rm{sub}}(B,A),\forall B \in {L^{S * }} $.

证明： 令$ {S_{{A_1}}},{S_{{A_2}}} \in \mathcal{U},{A_1},{A_2} \in \mathcal{T}, 则 {A_1} \cap {A_2} \in \mathcal{T} .$ 从而, $\forall B \in {L^{S * }},$$\left(S_{A_{1}} \cap S_{A_{2}}\right)(B)=S_{A_{1}}(B) \wedge S_{A_{2}}(B)= \operatorname{sub}\left(B, A_{1}\right) \wedge \operatorname{sub}\left(B, A_{2}\right)$ = ${\rm{sub}}(B,{A_1} \cap {A_2}) = {S_{{A_1} \cap {A_2}}}(B)$ . 这样，基公理(B1)就实现了. 进一步，由于${\underline 1} \in \mathcal{T}, {S_{{\underline 1} }}(B) = 1,$所以${ \cup _{{S_A} \in \mathcal{U}}}{S_A}(B) = 1,$ 这意味着基公理(B2)也满足.

定理6 设$(S, \circ )$为$L$−超群胚，$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，则$(S, \circ ,\mathcal{T})$是$L$−伪拓扑$L$−超群胚当且仅当$L$−超算子$ \circ $是$L$−${\mathcal{T}_\mathcal{U}}$−连续的.

证明：显然，$L$−超算子$ \circ $是映射$\circ :S \times S \to {L^{S * }}$，$(x,y) \mapsto x \circ y.$ 对任意$L$−开子集$A \in \mathcal{T},$${ \circ ^{ - 1}}({S_A})(x,y) = {S_A}(x \circ y) = {\rm{sub}}(x \circ y,A) = {A_ * }(x,y).$ 因此，$ \circ $是$L$−${\mathcal{T}_\mathcal{U}}$−连续当且仅当$\forall A \in \mathcal{T}, {A_ * }$是开的. 换言之，$ \circ $为lp−连续.

通过注1、注2和定理6可以检验得出文献[15]中定义的伪拓扑超群胚和模糊伪拓扑超群胚都是定义6的特例.

例2 令$S$为有限非空集，$(S, \circ )$为$L$−超群胚，其中$ \circ $定义为

$x \circ x = {\chi _{\{ x\} }},x \circ y = {\chi _{\{ x,y\} }},\forall x,y \in S$

令$\mathcal{T}$为$S$的$L$−拓扑，${\mathcal{T}_\mathcal{U}}$为${L^{S * }}$的$L$−拓扑，则$(S, \circ ,\mathcal{T})$是$L$−伪拓扑$L$−超群胚，只要证明$ \circ $是$L$−${\mathcal{T}_\mathcal{U}}$−连续. 事实上，令${S_A}$为${\mathcal{T}_\mathcal{U}}$的$L$−子集，则

$\forall (x,y) \in S \times S$

$\begin{split} &{ \circ ^{ - 1}}({S_A})(x,y) = {S_A}(x \circ y) = {S_A}({\chi _{\{ x,y\} }}) =\\&\quad {\rm{sub}}({\chi _{\{ x,y\} }},A) = (A \times A)(x,y) \end{split}$

由此可得${ \circ ^{ - 1}}({S_A}) \in \mathcal{T} \times \mathcal{T}$.

引理2 设$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，则集族$\mathcal{L}= {I_A} \in {L^{{L^{S * }}}}:A \in \mathcal{T}\}$是${L^{S * }}$的 $L$−拓扑${\mathcal{T}_\mathcal{L}}$的一个子基. 该拓扑为${L^{S * }}$的一个由$\mathcal{T}$诱导的$L$−下拓扑，${I_A}$定义为

${I_A}(B) = { \vee _{x \in S}}A(x) \wedge B(x),\forall B \in {L^{S * }}$

证明：由于$\forall B \in {L^{S * }},$$(\mathop \cup \limits_{A \in \mathcal{T}} {I_A})(B) = \mathop \vee \limits_{A \in \mathcal{T}} {I_A}(B) = \mathop \vee \limits_{A \in \mathcal{T}} \mathop \vee \limits_{x \in S} A(x) \wedge B(x){\kern 1pt} = \mathop \vee \limits_{x \in S} (\mathop \cup \limits_{A \in \mathcal{T}} A)(x) \wedge B(x) = \mathop \vee \limits_{x \in S} B(x) = 1$，所以$\mathcal{L}$是${\mathcal{T}_\mathcal{L}}$的一个子基.

定理7 设$(S, \circ )$为$L$−超群胚，$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，则$(S, \circ ,\mathcal{T})$是$L$−伪拓扑$L$−超群胚当且仅当$L$−超算子$ \circ $是 $L$−${\mathcal{T}_\mathcal{L}}$ -连续.

证明：$\forall A \in \mathcal{T},$${ \circ ^{ - 1}}({I_A})(x,y) = {I_A}(x \circ y) = \mathop \vee \limits_{s \in S} x \circ y(s) \wedge A(s) = {A^ * }(x,y).$ 因此， $ \circ $是 $L$−${\mathcal{T}_\mathcal{L}}$ −连续当且仅当$\forall A \in \mathcal{T}，{A^ * }$是开的，换言之，$ \circ $为slp−连续.

例3 令$S$为有限非空集，$(S, \circ )$为L−超群胚，其中$ \circ $定义为

$x \circ x = {\chi _{\{ x\} }},x \circ y = {\chi _{\{ x,y\} }},\forall x,y \in S$

令$\mathcal{T}$为$S$的$L$−拓扑，${\mathcal{T}_\mathcal{L}}$为${L^{S * }}$的$L$−拓扑，则$(S, \circ ,\mathcal{T})$是强$L$−伪拓扑$L$−超群胚. 只要证明$ \circ $是$L$−${\mathcal{T}_\mathcal{L}}$−连续的. 事实上，令${I_A}$为${\mathcal{T}_\mathcal{L}}$的$L$−子集，则$\forall (x,y) \in S \times S$，${ \circ ^{ - 1}}({I_A})(x,y) = {I_A}(x \circ y) = {I_A}({\chi _{\{ x,y\} }}) =\mathop \vee \limits_{z \in S} A(z) \wedge {\chi _{\{ x,y\} }}(z) $= $ A(x) \wedge A(y) = (A \times A)(x,y)$，由此可得${ \circ ^{ - 1}}({I_A}) \in \mathcal{T} \times \mathcal{T}$.

对于两个$L$−超群胚$({S_1},{ \circ _1}),({S_2},{ \circ _2})$乘积$L$−超群胚$({S_1} \times {S_2}, \otimes )$定义为

$\begin{split} & ({x_1},{x_2}) \otimes ({y_1},{y_2}) = ({x_1}{ \circ _1}{y_1},{x_2}{ \circ _2}{y_2}),\\&\quad \forall ({x_1},{x_2}),({y_1},{y_2}) \in {S_1} \times {S_2} \end{split}$

定理8 如果$({S_1},{ \circ _1},{\mathcal{T}_1}),({S_2},{ \circ _2},{\mathcal{T}_2})$是强$L$−伪拓扑$L$−超群胚，则$({S_1} \times {S_2}, \otimes ,{\mathcal{T}_1} \times {\mathcal{T}_2})$也是强$L$−伪拓扑$L$−超群胚.

证明：由于$({S_1},{ \circ _1},{\mathcal{T}_1}),({S_2},{ \circ _2},{\mathcal{T}_2})$是强$L$−伪拓扑$L$−超群，因此得到映射${ \circ _1}$与${ \circ _2}$是slp−连续的，且根据定理7，它们分别是$L$−${\mathcal{T}_{1\mathcal{L}}}$−连续和$L$−${\mathcal{T}_{2\mathcal{L}}}$−连续. 因此，由定理5可得，乘积映射是$L$−${\mathcal{T}_{1\mathcal{L}}} \times {\mathcal{T}_{2\mathcal{L}}}$−连续的. 又由定理4得映射$\alpha $是$L$−连续的，且易验证

$\begin{split} & { \circ _1} \times { \circ _2}:({S_1} \times {S_1},{\mathcal{T}_1} \times {\mathcal{T}_1}) \times ({S_2} \times {S_2},{\mathcal{T}_2} \times {\mathcal{T}_2}) \to\\&\quad ({L^{({S_1} \times {S_2}) * }},{\mathcal{T}_{1\mathcal{L}}} \times {\mathcal{T}_{2\mathcal{L}}}),({ \circ _1} \times { \circ _2})(({x_1},{y_1}), \\&\quad ({x_2},{y_2})) = ({x_1}{ \circ _1}{y_1},{x_2}{ \circ _2}{y_2}) \end{split}$

$\begin{split} & \left(\left(\circ_{1} \times \circ_{2}\right) \circ \alpha\right)\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right) =\\&\quad\left(\circ_{1} \times \circ_{2}\right)\left(\alpha\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)\right)=\\&\quad \left(\circ_{1} \times \circ_{2}\right)\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=\\&\quad \left(x_{1} \circ_{1} y_{1}, x_{2} \circ_{2} y_{2}\right)=\left(x_{1}, x_{2}\right) \otimes\left(y_{1}, y_{2}\right) \end{split}$

因此，根据定理1，$ \otimes $是$L$−${\mathcal{T}_{1\mathcal{L}}} \times {\mathcal{T}_{2\mathcal{L}}}$−连续的, 即$ \otimes $是slp−连续的.类似地，可得以下结论.

定理9 如果$({S_1},{ \circ _1},{\mathcal{T}_1}),({S_2},{ \circ _2},{\mathcal{T}_2})$是强$L$−伪拓扑$L$−超群胚，则$({S_1} \times {S_2}, \otimes ,{\mathcal{T}_1} \times {\mathcal{T}_2})$也是$L$−伪拓扑$L$−超群胚.

引理 3 设$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，则$\forall A,{A_1},{A_2},\cdots , {A_k} \in \mathcal{T},k \in \mathbb{N},{S_A} \cap ( \cap _{i = 1}^k{I_{{A_i}}}) = {S_A} \cap ( \cap _{i = 1}^k{I_{A \cap {A_i}}}) $.

证明：$\forall i \in \{ 1,2,\cdots,k\} ,\forall B \in {L^{S * }}$，显然，$({S_A} \cap {I_{{A_i}}}) (B) \geqslant ({S_A} \cap {I_{A \cap {A_i}}})(B)$，且有

$\begin{split} & \left(S_{A} \cap I_{A_{i}}\right)(B) =S_{A}(B) \wedge I_{A_{i}}(B)=\\&\quad \operatorname{sub}(B, A) \wedge \vee_{x \in S} A_{i}(x) \wedge B(x)\leqslant \\&\quad \vee_{x \in S} B(x) \wedge A_{i}(x) \wedge(B(x) \rightarrow A(x))\leqslant \\&\quad \vee_{x \in S} B(x) \wedge A(x) \wedge A_{i}(x)=I_{A \cap A_{i}}(B) \end{split}$

因此, ${S_A} \cap {I_{{A_i}}} = {S_A} \cap {I_{A \cap {A_i}}}$, 从而, ${S_A} \cap ( \cap _{i = 1}^k{I_{{A_i}}}) = {S_A} \cap ( \cap _{i = 1}^k{I_{A \cap {A_i}}}).$

引理4 设$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，$\forall {A_1},{A_2},\cdots,{A_k} \in \mathcal{T},k \in \mathbb{N}$，令$\mathcal{V}({A_1},{A_2},\cdots,{A_k}) (B) = {S_{ \cup _{i = 1}^k{A_i}}}(B) \wedge ( \cap _{i = 1}^k{I_{{A_i}}}) (B), B \in {L^{S * }}$，则由所有$L$−子集$\mathcal{V}({A_1},{A_2},\cdots,{A_k})$组成的集族$\mathcal{B}$是${L^{S * }}$的一个$L$−拓扑${\mathcal{T}_\mathcal{V}}$的基，称该$L$−拓扑${\mathcal{T}_\mathcal{V}}$为${L^{S * }}$的Vietoris L−拓扑.

证明：令${O_1},{O_2} \in \mathcal{B}$, 即$O_{1}=\mathcal{V}\left(A_{1}, A_{2} ,\cdots, A_{k}\right), O_{2}= \mathcal{V}\left(B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{l}\right)$. 这里，${A_1},{A_2},\cdots,{A_k} \in \mathcal{T}$，$B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{l} \in \mathcal{T}$，那么对于$C \in {L^{S * }}$，根据引理3有

$\begin{split} & \left(O_{1} \cap O_{2}\right)(C) = \left(S_{\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}}(C) \wedge\left(\bigcap_{i=1}^{k} I_{A_{i}}\right)(C)\right) \wedge\left(S_{\bigcup_{i=1} B_{i}}(C) \wedge\left(\bigcap_{i=1}^{l} I_{B_{i}}\right)(C)\right) = \\ &\quad \left(S_{\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}}(C) \wedge S_{\bigcup_{i=1}^{i} B_{i}}(C)\right) \wedge \left(\left(\bigcap_{i=1}^{k} I_{A_{i}}\right)(C) \wedge\left(\bigcap_{i=1}^{l} I_{B_{i}}\right)(C)\right) =S_{A \cap B}(C) \wedge \left(\bigcap_{i=1}^{k} I_{A_{i}}\right)(C) \wedge\left(\bigcap_{i=1}^{l} I_{B_{i}}\right)(C) =\\ &\quad S_{A \cap B}(C) \wedge\left(\bigcap_{i=1}^{k} I_{A_{i} \cap B}\right)(C) \wedge \left(\bigcap_{i=1}^{l} I_{B_{i} \cap A}\right)(C) \end{split}$

其中，$A = \cup _{i = 1}^k{A_i},{\kern 1pt} {\kern 1pt} B = \cup _{i = 1}^l{B_i}.$ 由${A_1},{A_2},\cdots,{A_k} \in \mathcal{T}$，$B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{l} \in \mathcal{T}$可得，$A,B \in \mathcal{T}.$ 从而，$B \cap {A_i} \in \mathcal{T}, A \cap {B_j} \in \mathcal{T}, i = 1,2,\cdots,k；j = 1,2,\cdots,l$. 因此有$({O_1} \cap {O_2}) = \mathcal{V}(A \cap B,{A_1} \cap B,\cdots,{A_k} \cap B,{B_1} \cap A,\cdots$, ${B_l} \cap A) $

这表明它满足了公理(B1). 此外, 由${\underline 1} \in \mathcal{T}$得到$\mathcal{V}({\underline 1} )(B) = 1,$ 说明它满足公理(B2).

根据引理3、引理4可得下列关于Vietoris $L$−拓扑${\mathcal{T}_\mathcal{V}}$与$L$−上拓扑${\mathcal{T}_\mathcal{U}}$和$L$−下拓扑${\mathcal{T}_\mathcal{L}}$之间的关系.

引理5 $\mathcal{U} \cap \mathcal{V}$是Vietoris $L$−拓扑${\mathcal{T}_\mathcal{V}}$的子基.

由此得到以下定理.

定理10 设$(S, \circ )$为$L$−超群胚，$(S,\mathcal{T})$为$L$−拓扑空间，则$(S, \circ ,\mathcal{T})$既是$L$−伪拓扑$L$−超群胚又是强$L$−伪拓扑$L$−超群胚当且仅当$L$−超算子$ \circ $ 是$L$−${\mathcal{T}_\mathcal{V}}$−连续的.

3. 结　语

本研究将HošKová−Mayerová关于拓扑超群胚的结果推广到$L$−拓扑$L$−超群胚的情形. 作为该工作的延续, 可将Heidaril等^[20]意义上的拓扑超群推广到模糊情形, 即$L$−拓扑$L$−超群. 为此，需引入$L$−超群上的两个特殊$L$−超算子：$\forall x,y,z \in S,x\backslash y(z) = (z \circ y)(x),x/y(z) = (y \circ z)(x)$.

显然, $x\backslash y,x/y \in {L^{S * }}$. 由此可以构造(强)$L$−伪拓扑$L$−超群及 $L$−${\mathcal{T}_ * }$−拓扑$L$−超群, 具体如下：

1）设$(S, \circ )$为L−超群，$(S, \circ ,\mathcal{T})$为(强)$L$−伪拓扑$L$−超群胚，称$(S, \circ ,\mathcal{T})$为(强)$L$−伪拓扑$L$−超群，如果$x\backslash y,x/y$是(强)$L$−伪连续的$L$−超算子；

2）设$(S, \circ )$为$L$−超群，$(S, \circ ,\mathcal{T},{\mathcal{T}_ * })$为$L$−${\mathcal{T}_ * }$−拓扑超群胚，称$(S, \circ ,\mathcal{T},{\mathcal{T}_ * })$为$L$−${\mathcal{T}_ * }$−拓扑$L$−超群, 如果$x\backslash y, x/y$是$L$−${\mathcal{T}_ * }$−连续的$L$−超算子.

参考文献(20)

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L−拓扑空间上的L−超算子

doi: 10.12299/jsues.21-0276

作者简介:
苏淑华（1975−），女，教授，博士，研究方向为格上拓扑及其应用. E-mail：21190005@sues.edu.cn

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L−hyperoperators on L−topological spaces

1. 预备知识

2. L−拓扑L−超群胚

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作者简介: 苏淑华（1975−），女，教授，博士，研究方向为格上拓扑及其应用. E-mail：21190005@sues.edu.cn

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苏淑华（1975−），女，教授，博士，研究方向为格上拓扑及其应用. E-mail：21190005@sues.edu.cn

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