主动噪声控制（Active Noise Control，ANC）利用相消干涉原理实现自适应降噪目的，因其低复杂度、高稳定性以及易于实现等优点被广泛关注^[1-2]. 最小均方（Least Mean Square，LMS）算法最早应用于ANC系统，其具有低计算量、易实现等优点^[3-4]，但该算法忽略了由次级通道产生的时延问题^[5]，控制效果不理想. 针对这一不足， 滤波x最小均方（Filter-x Least Mean Square，FxLMS）算法被提出，并引入对次级通道的估计，很大程度上弥补了LMS算法的缺陷^[6-7]. 但由于FxLMS算法采用固定步长，无法兼顾收敛速度和稳态误差，因此变步长算法应运而生. 张帅等^[8]提出基于归一化频域块的变步长LMS算法，计算效率得到大幅提升. Huang 等^[9]提出一种收敛速度快、跟踪能力高、稳态误差小的VSS−FxLMS算法，性能远超FxLMS算法. Meng等^[10]提出一种广义修正自适应FxLMS算法，对高脉冲噪声的控制效果非常好. 现有的变步长算法虽在一定程度上改善了固定步长FxLMS算法不能兼顾收敛速度与稳态误差的缺点，但是在收敛速度与稳态误差方面还需进一步提升. 本研究提出一种基于cosh函数的变步长FxLMS算法（ChFxLMS算法），使误差信号按照cosh函数特性对算法步长进行调整，以改善FxLMS算法收敛速度与稳态误差不能兼顾的不足. 最后通过正弦信号与织机信号控制仿真，验证算法的有效性.

1.   FxLMS算法

FxLMS算法以均方误差为目标函数，不断对自适应滤波器权值进行调整更新，使系统获得最佳抵消信号^[11]. 图1为FxLMS算法框图. 其中${H_1}(z)$、${H_2}(z)$分别为初级通道与次级通道的声学传递函数；W($z$)为用来生成抵消信号的线性滤波器，其权值通过FxLMS算法进行调整；${H_2}'(z)$为次级通道的估计，该部分的引入是为改善LMS算法存在的时延问题.

图  1  FxLMS算法框图

Figure  1.  Block diagram of FxLMS algorithm

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FxLMS算法整体流程如下^[12].

1）获取期望信号d(n)，计算公式为

式中：x(n)为需要降噪的噪声信号；${{\boldsymbol{H}}_1}(n)$为${H_1}(z)$的脉冲响应；*为线性卷积运算.

2）生成抵消信号y(n)，计算公式为

式中：${\boldsymbol{x}}'(n)$为x(n)经过${H_2}'(z)$滤波的信号，主要用来参与生成抵消信号b(n)；T为转置运算符号；${{{\boldsymbol{W}}}} (n)$为线性自适应滤波器W($z$)的脉冲响应；${{\boldsymbol{H}}_2}(n)$为${H_2}(z)$的脉冲响应；y(n)为抵消信号b(n)经过次级通道${H_2}(z)$得到的次级信号，主要用于抵消期望信号d(n). 次级信号y(n)生成的主要过程为：参考信号x(n)先经过${H_2}'(z)$滤波，再通过滤波器${W}(z)$，接着通过次级通道${H_2}(z)$得到次级信号y(n).

3）获取误差信号e(n)以及滤波器${{W}}(z)$权值更新，计算公式为

式中：µ为迭代过程中的步长因子，其取值会影响算法收敛的快慢以及稳态误差的大小.

2.   ChFxLMS算法

2.1   ChFxLMS算法原理

在FxLMS算法中步长无法改变. 采用较大步长µ时，系统快速收敛于一个稳定值，但稳态误差会随µ的增大而增大；采用较小步长µ时，系统稳态误差小，但系统收敛速度会随µ的减小而降低. 因此，收敛速度与稳态误差存在相互制约关系. 若在系统运行的每个时间点，步长能根据误差信号进行实时更新，使系统能够在快速收敛的同时具有较小的稳态误差，算法就会具有较好的性能. 考虑到cosh函数的曲线形状，用其建立步长因子µ(n)与误差信号e(n)的函数关系，得到µ(n)更新公式为

式中：α、β、m为待调参数. α控制函数µ(n)的取值范围，β、m控制函数µ(n)的曲线形状，当α = 1、β = 1、m = 2时，步长随误差信号变化曲线如图2所示.

图  2  步长随误差信号变化曲线

Figure  2.  Variation curve of step length with error signal

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由图可知，当系统误差e(n)较小时，对应步长µ(n)也为一较小值，系统在稳定时便能获得更小的误差值. 而系统误差e(n)较大时，对应步长µ(n)随之变大，系统快速收敛，符合变步长FxLMS算法要求. 此时，滤波器的权值更新公式为

2.2   参数对算法性能的影响

为分析参数α、β和m对算法控制效果的影响，在Matlab中搭建ChFxLMS算法模型，改变其中一个参数，固定另外两个参数，观察控制后误差信号. 仿真时间2 s，输入噪声信号为振幅1、频率100 Hz的正弦信号. 参数分析前，调试得到α、β和m的取值范围分别为0~47.4、0~49、1~5.

首先，分析α对ChFxLMS算法性能的影响. 设β = 1，m = 1，α分别为1、10、40，仿真得到α取不同值时误差信号曲线，如图3所示. 由图可知，α与算法的收敛速度呈正相关，即随着α值增大，系统越快收敛到一个稳定值. 因此，α应尽量取较大值.

图  3  α取不同值时误差信号曲线

Figure  3.  Error signal curves at different values of α

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然后，分析β对ChFxLMS算法性能的影响. 设α = 1，m = 2，β分别为1、5、10，仿真得到β取不同值时误差信号曲线，如图4所示. 由图可知，算法的收敛速度和稳态误差都会受到β值的影响. 当β=1时，误差信号没有收敛到一个定值；β = 5时，误差信号在1.2 s处收敛到一个定值；β = 10时，误差信号在0.8 s处收敛到一个定值. 随着β值不断增大，算法的收敛速度随之加快，稳态误差随之减少. 因此，β应尽量取较大值.

图  4  β取不同值时误差信号曲线

Figure  4.  Error signal curves at different values of β

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最后，分析m对ChFxLMS算法性能的影响. 设α = 1，β = 1，m分别为1、2、3，仿真得到m取不同值时误差信号曲线，如图5所示. 由图可知，当m取不同值时，算法收敛速度与稳态误差无明显变化，但随着m值持续增大，计算量会随着幂指数的增大而大幅增加. 因此，综合考虑计算量与稳态误差，m应选取较小值.

图  5  m取不同值时误差信号曲线

Figure  5.  Error signal curves at different values of m

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3.   算法性能验证

3.1   不同变步长FxLMS算法对比

为验证本研究提出的ChFxLMS算法性能，将ChFxLMS算法与FxLMS算法和基于sigmoid函数的改进变步长FxLMS（Sigmoid-FxLMS，SFFxLMS）算法进行对比. 其中，SFFxLMS算法中步长更新公式为

式中：${\alpha _1}$、${\beta _1}$和${m_1}$为曲线形状调控参数.

设置噪声信号为幅值为1，频率为300 Hz的正弦信号，仿真时间取2 s，FxLMS算法取µ = 0.1，根据调试，并结合2.2节中参数选取原则，得到SFFxLMS和ChFxLMS算法参数，见表1.

表  1  正弦信号输入时各算法参数值

Table  1.  Parameter values of each algorithm when sinusoidal signal is input

参数	SFFxLMS算法				ChFxLMS算法
	${\alpha _1}$	${\beta _1}$	${m_1}$		$\alpha$	$\beta$	$m$
值	4	6	1		40	10	1

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通过仿真，3种算法误差曲线如图6所示. 由图可知，对于正弦输入信号， ChFxLMS的稳态误差最小，SFFxLMS算法次之，FxLMS算法最大. 本研究提出的ChFxLMS算法控制效果优于另外两种算法.

图  6  正弦信号输入时3种算法误差曲线图

Figure  6.  Error curves of three algorithms when sinusoidal signal is input

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为更清晰地比较不同算法的收敛速度，引入均方误差（Mean Square Error，MSE），计算公式为

式中：L为信号长度.

3种算法的均方误差曲线如图7所示. 由图可知，FxLMS算法在1.0 s处收敛，SFFxLMS算法在0.5 s处收敛，ChFxLMS算法在0.03 s处收敛. 因此，对正弦信号进行控制时，本研究提出ChFxLMS算法在收敛速度和稳态误差方面均有较好的效果.

图  7  正弦信号输入时3种算法均方误差曲线图

Figure  7.  Mean square error curves of three algorithms when sinusoidal signal is input

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3.2   织机噪声控制仿真

大型机械工作空间如纺织车间，在机械运行时会持续产生高强度噪音，这会对工人造成一定的损伤. 徐洋等^[13]通过对簇绒地毯织机噪声源进行识别，发现其噪声主要集中在0~500 Hz. 因此，本研究用ChFxLMS、FxLMS、SFFxLMS算法对纺织机械簇绒地毯织机低频噪声进行仿真控制，验证3种算法对织机噪声的控制效果. 实测簇绒地毯织机噪声信号波形图，如图8所示.

图  8  织机噪声时域波形图

Figure  8.  Time domain waveform of loom noise

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仿真参数同样依据2.2节中的选取原则进行选取，FxLMS算法取µ = 0.1，SFFxLMS和ChFxLMS算法选取参数值见表2. 仿真得到3种算法误差曲线对比图如图9所示. 均方误差曲线如图10所示. 由图9可知，对织机噪声进行控制时，FxLMS算法控制后的误差最大，其次是SFFxLMS算法，本研究提出的ChFxLMS算法控制后误差最小. 由图10可知，ChFxLMS算法最快收敛，其次是SFFxLMS算法，FxLMS算法收敛最慢.

表  2  织机噪声控制时各算法参数值

Table  2.  Parameter values of each algorithm when loom noise is input

参数	SFFxLMS算法				ChFxLMS算法
	${\alpha _1}$	${\beta _1}$	${m_1}$		$\alpha$	$\beta$	$m$
值	4	0.9	1		20	5	1

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图  9  织机噪声控制3种算法误差曲线图

Figure  9.  Error curves of three algorithms for loom noise control

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图  10  织机噪声控制3种算法均方误差曲线图

Figure  10.  Mean square error curves of three algorithms when loom noise is input

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进一步比较3种算法的频域控制效果，如图11所示. 通过计算在0~500 Hz频段的平均降噪量可得，ChFxLMS算法的平均降噪量为21.9 dB，SFFxLMS算法的平均降噪量为7.2 dB，FxLMS算法的平均降噪量为6.9 dB. 因此，ChFxLMS算法在0~500 Hz频段的降噪上取得较好的控制效果.

图  11  织机噪声控制频域控制图

Figure  11.  Frequency domain control of loom noise control

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4.   结　语

基于cosh函数特性，提出变步长ChFxLMS算法，该算法步长µ取值根据误差信号不断调整更新，改善了传统FxLMS算法不能兼顾收敛速度与稳态误差的缺点. 深入分析各个参数值对ChFxLMS算法性能的影响，并对正弦信号以及织机信号进行控制仿真. 仿真结果表明，对正弦信号控制时，ChFxLMS算法收敛最快、稳态误差最小，对织机噪声控制时，ChFxLMS算法同样收敛最快，且取得21.9 dB的平均降噪量，有较好的控制效果.