基于方向距离函数和信息熵的集成交叉效率模型

宁阳雪; 潘昊君; 王国强

doi:10.12299/jsues.23-0022

基于方向距离函数和信息熵的集成交叉效率模型

doi: 10.12299/jsues.23-0022

上海工程技术大学数理与统计学院, 上海 201620

基金项目: 国家自然科学基金面上项目资助（11971302）；浦东新区科技发展基金产学研专项资金（人工智能）资助（PKX2020-R02）；上海市大学生创新创业训练计划资助（CS2221001）

详细信息

作者简介:
宁阳雪（1997−），女，硕士生，研究方向为数据包络分析。E-mail：ningyx2016@163.com

通讯作者:
王国强（1977−），男，教授，博士，研究方向为最优化理论与算法、高维数据统计推断、统计优化和数据挖掘。E-mail：guoq_wang@hotmail.com

中图分类号: O221
计量
- 文章访问数: 318
- HTML全文浏览量: 268
- PDF下载量: 211
- 被引次数: 0
出版历程
- 收稿日期: 2023-02-12
- 网络出版日期: 2024-11-14
- 刊出日期: 2024-09-30

Integrated cross-efficiency model based on directional distance function and information entropy

School of Mathematics, Physics and Statistics, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China

摘要

摘要: 针对传统交叉效率模型无法处理输入输出数据中同时含有负数的问题，提出一种基于方向距离函数和信息熵的集成交叉效率模型。首先，利用方向距离函数的思想对负数进行处理。其次，结合交叉效率模型实现决策单元的完全排序。接着，借助信息熵的变异系数获取一组用于交叉效率集结的公共权重，以避免传统模型的权重偏差，且保留评价过程中的决策信息。最后，通过一个数值案例验证了本研究模型的有效性和实用性，扩展了交叉效率模型的研究范围和应用场景。
- 数据包络分析 /
- 交叉效率 /
- 方向距离函数 /
- 信息熵
Abstract: Aiming at the problem that traditional cross-efficiency model cannot handle both input and output data containing negative numbers, an integrated cross-efficiency model based on directional distance function and information entropy was proposesed. First of all, the idea of direction distance function was used to deal with negative numbers. Secondly, the complete ranking of decision units was realized by combining cross efficiency. Then, with the help of the variation coefficient of information entropy, a set of public weights for cross-efficiency integration were obtained to avoid the weight deviation of the traditional model and retain the decision information in the evaluation process. Finally, the effectiveness and practicability of the proposed model were verified by a numerical example, and the research scope and application scenarios of the cross-efficiency model were extended.
- data envelopment analysis /
- cross-efficiency /
- directional distance function /
- information entropy

HTML全文

数据包络分析^[1](data envelopment analysis, DEA)是一种用于评估决策单元(decision making unit, DMU)生产前沿及其相对效率的非参数统计方法。魏权龄^[2]总结了众多学者在DEA领域的奠基性工作，并对DEA模型和方法的经济背景、管理背景和数学理论进行研究，提升了我国学者在DEA领域的研究水平。如今DEA已广泛应用于可持续发展、农业、银行、供应链、交通运输和公共政策等领域^[3]。但利用传统DEA模型来进行效率评价仍存在一定的不足，如无法对DMU进行完全排序。为解决这一问题，Sexton等^[4]提出交叉效率模型来取代传统DEA模型中的自评体系。

目前对交叉效率模型的研究主要包括两个方面，分别为交叉效率模型的评价策略和效率的集结问题。在交叉效率模型评价策略的研究中，众多学者提出不同的评价策略来实现交叉效率值的统一比较和排序，如激进型交叉效率模型^[5]、仁慈型交叉效率模型^[5]和中立型交叉效率模型^[6]等。上述评价策略都是以CCR(Charnes-Cooper-Rhodes)模型^[1]为基本模型，因而这些模型也与CCR模型一样都存在着无法对输入输出数据中含有负数的问题进行处理。已有研究中对该问题的处理方式大致分为两类，一类是利用“平移不变性”的思想对数据进行转换，在含有负数的指标中统一加入一个常数，使其变为正^[7]，但这样的转换方式可能会对DEA评价结果的分类与排序产生影响。另一类处理方式则是使用原始数据，对模型加以修正，如BCC(Banker-Charnes-Cooper)模型^[8]。然而，BCC模型无法对输入输出数据中同时含有负数的问题进行处理。针对这个问题，Portela等^[9]基于初始评价结果可能的改进范围作为方向向量构建了方向距离函数模型，可以处理输入输出数据中同时含有负数的问题。Lin^[10]提出一种基于方向距离函数模型的交叉效率模型。在规模报酬可变条件下，该模型能处理输入输出数据中同时含有负数的问题。

尽管交叉效率模型采用互评体系解决了DMU的完全排序问题，但其采用的传统的算术平均效率集结方法存在诸多缺陷，如无法给决策者提供改进自身效率的权重信息，且平均交叉效率值不是帕累托最优的结果^[11]。Wu等^[12]指出算术平均方法的不足，提出利用熵权法进行交叉效率集结的方法。Song等^[13]从多准则决策分析角度出发，认为文献[12]的方法可能会产生不合理的权重，并提出基于变异系数的熵权法进行效率集结的方法。

综上，对输入输出数据中同时含有负数的问题，还没有对其交叉效率集结方法的研究，这在一定程度上限制了交叉效率模型的应用范围。本研究针对被评价问题决策单元的输入输出数据中同时含有负数的情况，利用基于方向距离函数的交叉效率模型，借助熵的变异系数确定一组唯一的效率集结权重，以避免传统模型的权重偏差，实现决策单元的相对有效评价和精确排序。最后，通过一个数值案例来验证模型的有效性和实用性。

1. 模型设定

1.1 基于方向距离函数的交叉效率模型

本节简单介绍基于方向距离函数的交叉效率模型的基本思想，详细可参考文献[9-10]。

假设有$ n $个DMU，记为$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{j}\left(j=\mathrm{1,2},\cdots ,n\right)$。对任意的$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{j}$，不妨设其有$ m $个投入向量${{\boldsymbol{x}}}_{j}= {\left({x}_{1j},{x}_{2j},\cdots ,{x}_{mj}\right)}^{{\rm{T}}}$和$ s $个产出向量${{\boldsymbol{y}}}_{j}={\left({y}_{1j},{y}_{2j},\cdots ,{y}_{sj}\right)}^{{\rm{T}}}$。在考虑松弛的条件下，对于第$ d $个被评价决策单元$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{d}\left(d=\mathrm{1,2},\cdots ,n\right)$，其无效率程度$ {\beta }_{d} $可通过方向距离函数模型求解，即

$\begin{split} & \max\; \beta_d + \epsilon\left( \displaystyle\sum_{i=1}^m s_i^- + \displaystyle\sum_{r=1}^s s_r^{ + }\right) \\ & \text {s.t. }\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j}-s_r^{ + } \geqslant y_{r d} + \beta_d {\boldsymbol{G}}_{r d}, \\\qquad\qquad r=1,2, \cdots, s \\ \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j} + s_i^- \leqslant x_{i d}-\beta_d {\boldsymbol{G}}_{i d}, \\\qquad\qquad i=1,2, \cdots, m \\ \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda_j=1, \quad \lambda_j, s_i^-, s_r^{ + } \geqslant 0 \end{array}\right. \end{split}$

(1)

式中：$ {\beta }_{d}\in \left[\mathrm{0,1}\right] $为$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{d}$的无效率程度，$ {\beta }_{d} $越小，$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{d}$的效率越高；反之，$ {\beta }_{d} $越大，$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{d}$的效率越低。$ \epsilon $为非阿基米德无穷小；${{\boldsymbol{G}}}_{id}$与${{\boldsymbol{G}}}_{rd}$分别为$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{d}$的第$ i $个投入方向向量与第$ r $个产出方向向量。设$ {\beta }_{d}^{\mathrm{*}},{s}_{i}^{-\mathrm{*}},{s}_{r}^{ + \mathrm{*}} $是模型(1)的最优解，特别地，当$ {\beta }_{d}^{\mathrm{*}}=0, {s}_{i}^{-\mathrm{*}}=0 $和$ {s}_{r}^{ + \mathrm{*}}=0 $时，则$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{d}$是DEA有效的^[9]。

在方向距离函数模型中，不同方向向量决定着无效率的投入和产出指标不同的改进方向，进而获得不同目标值在前沿上的不同投影点，最终得出不同的效率值^[14]。特别地，在规模报酬可变条件下，为使输入输出数据中同时含有负数的问题有可行解，Portela等^[9]利用方向距离函数思想，提出改进的投入和产出方向向量为

$\begin{split} & {{\boldsymbol{G}}}_{id}={x}_{id}-\underset{j}{\mathrm{min}}\{{{\boldsymbol{x}}}_{j}\}, i=1,\cdots ,m;\\&\quad d,j=\mathrm{1,2},\cdots ,n \end{split}$

(2)

$\begin{split} & {{\boldsymbol{G}}}_{rd}=\underset{j}{\mathrm{max}}{\{{\boldsymbol{y}}}_{j}\}-{y}_{rd}, r=1,\cdots ,s;\\&\quad d,j=\mathrm{1,2},\cdots ,n \end{split}$

(3)

则模型(1)的对偶问题为

$\begin{split} & \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n} \displaystyle\sum _{i=1}^{m}{v}_{i}\left({x}_{id} + {{\boldsymbol{G}}}_{id}\right)- \displaystyle\sum _{r=1}^{s}{u}_{r}\left({y}_{rd}-{{\boldsymbol{G}}}_{rd}\right)\\& \begin{array}{c}{\rm{s}}.{\rm{t}}.\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\sum _{i=1}^{m}{v}_{i}{{\boldsymbol{G}}}_{id} + \displaystyle\sum _{r=1}^{s}{u}_{r}{{\boldsymbol{G}}}_{rd}=1,d=\mathrm{1,2},\cdots ,n\\ \displaystyle\sum _{i=1}^{m}{v}_{i}{x}_{ij}- \displaystyle\sum _{r=1}^{s}{u}_{r}{y}_{rj} + {\xi }_{j}\geqslant 0,\\j=\mathrm{1,2},\cdots ,n \\ {v}_{i},{u}_{r}\geqslant \epsilon,i=1,\cdots ,m;r=1,\cdots ,s\end{array}\right.\end{array} \end{split}$

(4)

设${{\boldsymbol{v}}}_{i}^{*}={\left({v}_{1d}^{*},\cdots ,{v}_{md}^{*}\right)}^{{\rm{T}}},{{\boldsymbol{u}}}_{r}^{*}={\left({u}_{1d}^{*},\cdots ,{u}_{sd}^{*}\right)}^{{\rm{T}}}$和$ {\xi }_{d}^{*} $为模型(4)的最优解，则可利用$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{d}$的最优权重向量${{\boldsymbol{v}}}_{i}^{*}$和${{\boldsymbol{u}}}_{r}^{*}$计算$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{j}$的交叉效率值^[10]为

$\begin{split} & {\beta }_{dj}=\frac{ \displaystyle\sum _{i=1}^{m}{v}_{id}^{*}{x}_{ij}- \displaystyle\sum _{r=1}^{s}{u}_{rd}^{*}{y}_{rj} + {\mathrm{\xi }}_{d}^{*}}{ \displaystyle\sum _{i=1}^{m}{v}_{id}^{*}{G}_{ij} + \displaystyle\sum _{r=1}^{s}{u}_{rd}^{*}{G}_{rj}},\\&\quad d,j=\mathrm{1,2},\cdots ,n \end{split}$

(5)

当所有DMU均从自身和他人视角来计算效率值后，即可得到交叉效率矩阵${\boldsymbol{B}}$，见表1。

表 1 基于方向距离函数的交叉效率矩阵B

Table 1. Cross efficiency matrix B based on directional distance function

评价$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{d }$	被评价$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$
评价$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{d }$	1	2	···	n
$ 1 $	$ {\beta }_{11} $	$ {\beta }_{12} $	···	$ {\beta }_{1n} $
$ 2 $	$ {\beta }_{21} $	$ {\beta }_{22} $	···	$ {\beta }_{2n} $
$ \vdots $	$ \vdots $	$ \vdots $		$ \vdots $
$ n $	$ {\beta }_{n1} $	$ {\beta }_{n2} $	···	$ {\beta }_{nn} $

下载: 导出CSV

| 显示表格

1.2 基于信息熵的变异系数的效率集结方法

在决策问题中，决策者需要利用其所获得的可能不可靠或不完整的信息得到相对客观可靠的结论来辅助决策。而熵作为一种测度信息量的有力工具，可有效降低人为主观因素的干扰^[15]。熵值越大，指标的变异程度就越大，其所包含的信息量就越多，因此可以认为该指标在决策中发挥的作用也更大；相反，熵值越小，指标所包含的信息量就越少，其在决策过程中的权重也就越低。多标准决策理论认为，对于给定的输入和输出指标，如果所有决策单元对该指标的评价都是同等重要的，那么对大多数决策者而言，该指标对做出决策没有帮助，即认为这样的指标不重要。基于信息熵的变异系数的求解可参考文献[12-13]，基本步骤具体如下。

首先，为避免量纲不一致带来的影响，对交叉效率矩阵${\boldsymbol{B}}={\left({\beta }_{dj}\right)}_{n\times n}$进行标准化处理。根据指标含义，可分为正向指标（越大越好）和负向指标（越小越好）。标准化处理后的交叉效率矩阵为

$\begin{array}{c}{{\boldsymbol{B}}}^{*}={\left({\beta }_{dj}^{*}\right)}_{n\times n} \end{array}$

(6)

其中

$\begin{array}{c}{\beta }_{dj}^{*}=\left\{\begin{array}{c}\dfrac{{\beta }_{dj}-\mathrm{min}{\{\beta }_{d}\}}{\mathrm{max}{\{\beta }_{d}\}-\mathrm{min}{\{\beta }_{d}\}},\quad 正向指标 \\ \dfrac{\mathrm{max}{\{\beta }_{d}\}-{\beta }_{dj}}{\mathrm{max}{\{\beta }_{d}\}-\mathrm{min}{\{\beta }_{d}\}},\quad 负向指标 \end{array}\right.\end{array}$

(7)

且有

$\mathrm{min}{\{\beta }_{d}\}=\mathrm{min}{\{\beta }_{1j},{\beta }_{2j},\cdots ,{\beta }_{dj}\}$

$\mathrm{max}{\{\beta }_{d}\}=\mathrm{max}{\{\beta }_{1j},{\beta }_{2j},\cdots ,{\beta }_{dj}\}$

其次，计算每个交叉效率值的熵，即

$\begin{array}{c}{h}_{dj}=-{\beta }_{dj}^{\prime}\mathrm{ln}\;{\beta }_{dj}^{\prime},\quad d,j=\mathrm{1,2},\cdots ,n\end{array}$

(8)

其中

$\begin{array}{c}{\beta }_{dj}^{\prime}=\frac{{\beta }_{dj}^{*}}{ \displaystyle\sum _{j=1}^{n}{\beta }_{dj}^{*}} \end{array}$

(9)

接着计算${\beta }_{dj}^{\prime}$的变异系数$ {\delta }_{d} $，公式为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\delta }}_{d}=\dfrac{{\mathrm{\sigma }}_{d}}{{\overline{h}}_{d}},\quad d=\mathrm{1,2},\cdots ,n \end{array}$

(10)

式中：${\mathrm{\sigma }}_{d}=\sqrt{\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum _{i=1}^{n}{\left({h}_{dj}-{\overline{h}}_{d}\right)}^{2}} $和${\overline{h}}_{d}=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum _{j=1}^{n}{h}_{dj} $分别为熵$ {h}_{dj} $的标准差$ {\sigma }_{d} $和平均值$ {\overline{h}}_{d} $。

最后，借助熵的变异系数进行赋权，公式为

$\begin{array}{c}{E}_{j}^{{\rm{cross}}}= \displaystyle\sum _{d=1}^{n}{{w}_{d}\beta }_{dj},\quad j=\mathrm{1,2},\cdots ,n \end{array}$

(11)

其中$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{d}$的权重为

$\begin{array}{c}{w}_{d}=\frac{\displaystyle{\delta }_{d}}{ \displaystyle\sum _{d=1}^{n}{\delta }_{d}}\end{array}$

(12)

该方法可在利用信息熵度量信息量的基础上进一步对交叉效率集结过程的权重进行区分。根据多准则决策的思想，变异系数越小，则同质性越高，越不重要，因此被赋予更小的权重^[13]。

2. 基于方向距离函数和信息熵的集成交叉效率模型

考虑到实际应用场景中，决策问题中可能存在输入输出数据中同时含有负数的情况，因此，本研究构建基于方向距离函数和信息熵的集成交叉效率模型。首先，利用方向距离函数的思想度量决策单元的有效程度；其次，引入信息熵进行效率集结，实现决策单元的完全排序；最后，引入信息熵的变异系数，避免传统模型的权重偏差。该模型可以客观有效地评价输入输出数据中同时含有负数的问题，从而解决传统交叉效率模型不适用以及最优权重不唯一的问题，具体步骤如下：

输入：$ n $个有$ m $个投入和$ s $个产出的$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{j}$, $ j=1,\cdots ,n $。

输出：每个$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{j}$的交叉效率为${E}_{j}^{{\rm{cross}}}$, $ j=1,\cdots ,n $。

1）由式(2)和(3)分别计算投入和产出方向向量${{\boldsymbol{G}}}_{id}$和${{\boldsymbol{G}}}_{rd}$，$ i=1,\cdots ,m,\;r=1,\cdots ,s,\; d=1,\cdots ,n $。

2）由模型(4)及模型(5)，计算交叉效率矩阵B=$ ({\beta }_{dj}{)}_{n\times n} $。

3）由式(6)对交叉效率矩阵进行标准化处理，得到标准化交叉效率矩阵${{\boldsymbol{B}}}^{*}={\left({\beta }_{dj}^{*}\right)}_{n\times n}$。

4）由式(10)计算熵的变异系数$ {\delta }_{d} $。

5）由式(12)计算决策单元$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{j}$的权重${\boldsymbol{w}}= {\left({w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n}\right)}^{{\rm{T}}}$。

6）由式(11)，借助熵信息计算决策单元$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U}}_{j}$的最终交叉效率值${E}_{j}^{{\rm{cross}}}$, $ j=1,\cdots ,n $。

根据所得交叉效率评价结果，可对决策单元进行综合排序，并结合实际问题背景进行分析。

3. 数值案例

本研究数值案例采用文献[16]中的算例数据，见表2。该数据对应一个污水处理系统，有13个决策单元，每个决策单元有2个投入指标（成本和废水），记为x₁、x₂，和3个产出指标（可销售输出、甲烷和二氧化碳），记为y₁、y₂、y₃。值得注意的是，在投入和产出数据中均存在负数。

表 2 算例数据

Table 2. Example data

$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$	投入		产出
$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$	$ {x}_{1} $	$ {x}_{2} $	$ {y}_{1} $	$ {y}_{2} $	$ {y}_{3} $
1	1.03	−0.05	0.56	−0.09	−0.44
2	1.75	−0.17	0.74	−0.24	−0.31
3	1.44	−0.56	1.37	−0.35	−0.21
4	10.80	−0.22	5.61	−0.98	−3.79
5	1.30	−0.07	0.49	−1.08	−0.34
6	1.98	−0.10	1.61	−0.44	−0.34
7	0.97	−0.17	0.82	−0.08	−0.43
8	9.82	−2.32	0.48	−1.42	−1.94
9	1.59	0.00	0.52	0.00	−0.37
10	5.96	−0.15	2.14	−0.52	−0.18
11	1.29	−0.11	0.57	0.00	−0.24
12	2.38	−0.25	0.57	−0.67	−0.43
13	10.30	−0.16	9.56	−0.58	0.00

下载: 导出CSV

| 显示表格

在交叉效率集结过程中，本研究基于信息熵的变异系数所得到的权重为(0.0828, 0.0943, 0.0634, 0.0937, 0.0763, 0.0784, 0.0875, 0.0714, 0.0762, 0.0624, 0.0794, 0.0734, 0.0608)^T。

由上可知，在效率集结过程中，传统算术平均赋权方法对每个决策单元赋予相同的权重，并没有考虑到各个决策单元之间的相对重要性，因此容易遗漏大量的决策信息。而本研究模型由于引入了信息熵的变异系数，可以保留评价过程中的决策信息。例如，通过本研究模型结果可以看出DMU₂在效率集结过程中最重要，DMU₁₃最不重要，而算术平均赋权方法无法得到这部分信息。

为说明本研究模型在处理输入输出数据中同时含有负数的问题的有效性，选取Portela等^[9]提出的方向距离函数模型，Lin^[10]提出的基于方向距离函数的交叉效率模型以及本研究所提出的基于方向距离函数和信息熵的集成交叉效率模型进行对比，结果见表3。

表 3 三种模型结果比较

Table 3. Results comparison of three models

$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$	方向距离函数模型			基于方向距离函数的交叉效率模型			本研究模型
$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$	$ \beta $	$ 1-\beta $	排名	$ \beta $	$ 1-\beta $	排名	$ \beta $	$ 1-\beta $	排名
1	0.0351	0.9649	8	0.1494	0.8506	6	0.1332	0.8668	6
2	0.0818	0.9182	10	0.1602	0.8398	7	0.1503	0.8497	7
3	0.0000	1.0000	1	0.0510	0.9490	2	0.0456	0.9544	1
4	0.2068	0.7932	13	0.4952	0.5048	13	0.4693	0.5307	13
5	0.0757	0.9243	9	0.2927	0.7073	12	0.2878	0.7122	12
6	0.0292	0.9708	7	0.1877	0.8123	8	0.1767	0.8233	8
7	0.0000	1.0000	1	0.1120	0.8880	4	0.0948	0.9052	4
8	0.0000	1.0000	1	0.2901	0.7099	11	0.2654	0.7346	11
9	0.0055	0.9945	6	0.1387	0.8613	5	0.1253	0.8747	5
10	0.1404	0.8596	11	0.2542	0.7458	9	0.2533	0.7467	9
11	0.0000	1.0000	1	0.0667	0.9333	3	0.0604	0.9396	3
12	0.1495	0.8505	12	0.2697	0.7303	10	0.2610	0.7390	10
13	0.0000	1.0000	1	0.0455	0.9545	1	0.0464	0.9536	2

下载: 导出CSV

| 显示表格

由表3可见，方向距离函数模型的数值结果显示DMU₃、DMU₇、DMU₈、DMU₁₁和DMU₁₃均被判定为是DEA有效，所有有效DMU的$ {\beta }^{\mathrm{*}} $值均为0，即$ 1-{\beta }^{\mathrm{*}} $均为1。因此，方向距离函数模型可以解决规模报酬可变条件下输入输出数据中同时含有负数的问题，但它不具备对有效决策单元的效率进行进一步区分的能力。基于方向距离函数的交叉效率模型的数值结果，方向距离函数模型与交叉效率的结合是行之有效的，可以有效实现对决策单元的全排序，且在该模型中被判定为DEA有效的决策单元的效率值排名依然靠前。

根据比较结果，可以看出基于方向距离函数的交叉效率模型和本研究模型的数值结果基本一致，只有DMU₃和DMU₁₃的排序不同：前者中DMU₃排序为第二名，DMU₁₃为第一名；而后者中DMU₃排序为第一名，DMU₁₃为第二名。

值得注意的是，尽管总体排序情况相似，但每个DMU的效率值结果都发生了一定程度的变化。这是因为在前者采用的算术平均赋权方法中，最终的交叉效率值以同样的权重进行集结，并没有考虑到决策单元之间的相对重要性。本研究提出的模型引入了熵权法来替代算术平均赋权方法，并利用熵的变异系数来修正熵权法对不重要的评价指标所赋予的权重，从而最大限度地保留了交叉效率评价信息，使得评价结果更加符合实际决策场景，并且提高了排序的准确性。

4. 结　语

交叉效率模型是一种有效的决策单元排序方法，由于其是CCR模型的拓展模型，因而无法处理输入输出数据中同时含有负数的情况。对此，本研究提出的基于方向距离函数和信息熵的集成交叉效率模型可以放宽对数据均为非负的限制条件，并且在交叉效率的集结过程中保留了交叉效率评价信息，扩展了交叉效率模型的研究范围和应用场景。

通过引入方向距离函数和信息熵的思想，首先在规模报酬可变条件下实现了对输入输出数据中同时含有负数的问题进行直接评价，并对所有决策单元进行完全排序；其次，在多标准决策的框架下，借助熵的变异系数，对被评价决策单元赋予一组客观唯一的权重，解决了算术平均效率集结方式权重不现实的问题。最后，数值结果表明，与方向距离函数模型以及基于方向距离函数的交叉效率模型相比，本研究提出的模型可得到合理、稳定的评价结果，具有较强的适用性和较高的可靠性。

表 1 基于方向距离函数的交叉效率矩阵B

Table 1. Cross efficiency matrix B based on directional distance function

评价$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{d }$	被评价$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$
评价$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{d }$	1	2	···	n
$ 1 $	$ {\beta }_{11} $	$ {\beta }_{12} $	···	$ {\beta }_{1n} $
$ 2 $	$ {\beta }_{21} $	$ {\beta }_{22} $	···	$ {\beta }_{2n} $
$ \vdots $	$ \vdots $	$ \vdots $		$ \vdots $
$ n $	$ {\beta }_{n1} $	$ {\beta }_{n2} $	···	$ {\beta }_{nn} $

下载: 导出CSV

表 2 算例数据

Table 2. Example data

$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$	投入		产出
$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$	$ {x}_{1} $	$ {x}_{2} $	$ {y}_{1} $	$ {y}_{2} $	$ {y}_{3} $
1	1.03	−0.05	0.56	−0.09	−0.44
2	1.75	−0.17	0.74	−0.24	−0.31
3	1.44	−0.56	1.37	−0.35	−0.21
4	10.80	−0.22	5.61	−0.98	−3.79
5	1.30	−0.07	0.49	−1.08	−0.34
6	1.98	−0.10	1.61	−0.44	−0.34
7	0.97	−0.17	0.82	−0.08	−0.43
8	9.82	−2.32	0.48	−1.42	−1.94
9	1.59	0.00	0.52	0.00	−0.37
10	5.96	−0.15	2.14	−0.52	−0.18
11	1.29	−0.11	0.57	0.00	−0.24
12	2.38	−0.25	0.57	−0.67	−0.43
13	10.30	−0.16	9.56	−0.58	0.00

下载: 导出CSV

表 3 三种模型结果比较

Table 3. Results comparison of three models

$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$	方向距离函数模型			基于方向距离函数的交叉效率模型			本研究模型
$\mathrm{D}\mathrm{M}{\mathrm{U} }_{j }$	$ \beta $	$ 1-\beta $	排名	$ \beta $	$ 1-\beta $	排名	$ \beta $	$ 1-\beta $	排名
1	0.0351	0.9649	8	0.1494	0.8506	6	0.1332	0.8668	6
2	0.0818	0.9182	10	0.1602	0.8398	7	0.1503	0.8497	7
3	0.0000	1.0000	1	0.0510	0.9490	2	0.0456	0.9544	1
4	0.2068	0.7932	13	0.4952	0.5048	13	0.4693	0.5307	13
5	0.0757	0.9243	9	0.2927	0.7073	12	0.2878	0.7122	12
6	0.0292	0.9708	7	0.1877	0.8123	8	0.1767	0.8233	8
7	0.0000	1.0000	1	0.1120	0.8880	4	0.0948	0.9052	4
8	0.0000	1.0000	1	0.2901	0.7099	11	0.2654	0.7346	11
9	0.0055	0.9945	6	0.1387	0.8613	5	0.1253	0.8747	5
10	0.1404	0.8596	11	0.2542	0.7458	9	0.2533	0.7467	9
11	0.0000	1.0000	1	0.0667	0.9333	3	0.0604	0.9396	3
12	0.1495	0.8505	12	0.2697	0.7303	10	0.2610	0.7390	10
13	0.0000	1.0000	1	0.0455	0.9545	1	0.0464	0.9536	2

下载: 导出CSV

参考文献(16)

[1]	CHARNES A, COOPER W W, RHODES E. Measuring the efficiency of decision making units[J] . European Journal of Operational Research,1978,2(6):429 − 444. doi: 10.1016/0377-2217(78)90138-8
[2]	魏权龄. 数据包络分析(DEA)[M]. 北京: 科学出版社, 2006.
[3]	EMROUZNEJAD A, YANG G. A survey and analysis of the first 40 years of scholarly literature in DEA: 1978–2016[J] . Socio-Economic Planning Sciences,2018,61:4 − 8. doi: 10.1016/j.seps.2017.01.008
[4]	SEXTON T R, SILKMAN R H, HOGAN A J. Data envelopment analysis: Critique and extensions[J] . New Directions for Program Evaluation,1986(32):73 − 105.
[5]	DOYLE J, GREEN R. Efficiency and cross-efficiency in DEA: Derivations, meanings and uses[J] . Journal of the Operational Research Society,1994,45(5):567 − 578. doi: 10.1057/jors.1994.84
[6]	WANG Y, CHIN K. A neutral DEA model for cross-efficiency evaluation and its extension[J] . Expert Systems with Applications,2010,37(5):3666 − 3675. doi: 10.1016/j.eswa.2009.10.024
[7]	PASTOR J T. Translation invariance in data envelopment analysis: A generalization[J] . Annals of Operations Research,1996,66(2):91 − 102. doi: 10.1007/BF02187295
[8]	BANKER R D, CHARNES A, COOPER W W. Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis[J] . Management Science,1984,30(9):1078 − 1092. doi: 10.1287/mnsc.30.9.1078
[9]	PORTELA M S, THANASSOULIS E, SIMPSON G. Negative data in DEA: A directional distance approach applied to bank branches[J] . Journal of the Operational Research Society,2004,55(10):1111 − 1121. doi: 10.1057/palgrave.jors.2601768
[10]	LIN R. Cross-efficiency evaluation capable of dealing with negative data: A directional distance function based approach[J] . Journal of the Operational Research Society,2020,71(3):505 − 516. doi: 10.1080/01605682.2019.1567652
[11]	梁樑, 吴杰. 数据包络分析(DEA)的交叉效率研究进展与展望[J] . 中国科学技术大学学报,2013,43(11):941 − 947. doi: 10.3969/j.issn.0253-2778.2013.11.010
[12]	WU J, SUN J, LIANG L. DEA cross-efficiency aggregation method based upon Shannon entropy[J] . International Journal of Production Research,2012,50(23):6726 − 6736. doi: 10.1080/00207543.2011.618150
[13]	SONG L, LIU F. An improvement in DEA cross‐efficiency aggregation based on the Shannon entropy[J] . International Transactions in Operational Research,2018,25(2):705 − 714. doi: 10.1111/itor.12361
[14]	钱振华, 成刚. 基于广义平均的方向距离函数效率测量方法[J] . 数学的实践与认识,2012,42(23):100 − 106. doi: 10.3969/j.issn.1000-0984.2012.23.012
[15]	SHANNON C E. A mathematical theory of communication[J] . The Bell System Technical Journal,1948,27(3):379 − 423. doi: 10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x
[16]	LIN R, LIU Y. Super-efficiency based on the directional distance function in the presence of negative data[J] . Omega,2019,85:26 − 34. doi: 10.1016/j.omega.2018.05.009